高一年级数学第一次月考试卷及其答案|高一年级数学第一次月考试卷

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　　【一】

　　第Ⅰ卷(选择题共60分)

　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

　　1．(2016•菏泽市高一检测)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于导学号09024213(A)

　　A．2πB．πC．2D．1

　　[解析]所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S侧＝2πRh＝2π×1×1＝2π.

　　2．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是导学号09024214(C)

　　A．1︰1B．2︰1C．3︰2D．4︰3

　　[解析]∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱全面积S1＝2πR2＋2πR•2R＝6πR2，球表面积S2＝4πR2，∴S1S2＝32.

　　3．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是导学号09024215(A)

　　A．3034B．6034C．3034＋135D．135

　　[解析]由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为922＋1522＝3234，则这个菱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.

　　4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1︰V2＝导学号09024216(D)

　　A．1︰3B．1︰1C．2︰1D．3︰1

　　[解析]V1︰V2＝(Sh)︰(13Sh)＝3︰1.

　　5．(2016•寿光现代中学高一月考)若两个球的表面积之比为1︰4，则这两个球的体积之比为导学号09024217(C)

　　A．1︰2B．1︰4C．1︰8D．1︰16

　　[解析]设两个球的半径分别为r1、r2，

　　∴S1＝4πr21，S2＝4πr22.

　　∴S1S2＝r21r22＝14，∴r1r2＝12.∴V1V2＝43πr3143πr32＝(r1r2)3＝18.

　　6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为导学号09024218(D)

　　A．6B．32C．62D．12

　　[解析]△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×6×4＝12.

　　7．(2017•北京文，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为导学号09024219(D)

　　A．60B．30C．20D．10

　　[解析]由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D．

　　8．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号09024220(D)

　　A．1B．12C．32D．34

　　[解析]设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是h，由题设，2R•h＝12×2r•h，

　　∴r＝2R，V柱＝πR2h，V锥＝13πr2h＝43πR2h，

　　∴V柱V锥＝34，选D．

　　9．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为导学号09024221(A)

　　A．324πR3B．38πR3C．525πR3D．58πR3

　　[解析]依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为R2，高为32R，所以圆锥的体积为13×π×(R2)2×32R＝324πR3.

　　10．(2015•全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有导学号09024222(B)

　　A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛

　　[解析]设圆锥底面半径为r，则14×2×3r＝8，∴r＝163，所以米堆的体积为14×13×3×(163)2×5＝3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B．

　　11．已知底面为正三角形，侧面为矩形的三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是导学号09024223(B)

　　A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3

　　[解析]由题意知棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，∴底面正三角形的边长为6cm，正三棱柱的底面面积为93cm2，∴此三棱柱的体积V＝93×23＝54(cm3)．

　　12．(2016•山东，文)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为导学号09024224(C)

　　A．13＋23πB．13＋23πC．13＋26πD．1＋26π

　　[解析]根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π(22)3＝13＋26π.

　　第Ⅱ卷(非选择题共90分)

　　二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

　　13．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是__16__.

　　导学号09024225

　　[解析]在△AOB中，OB＝4，高为8，则面积S＝12×4×8＝16.

　　14．圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，则它的底面圆的半径等于__5__cm.导学号09024226

　　[解析]设底面圆的半径为r，由题意得2πrh＋2πr2＝130π，

　　即r2＋8r－65＝0，解得r＝5.

　　15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__11__.导学号09024227

　　[解析]设棱台的高为x，则有(16－x16)2＝50512，解之，得x＝11.

　　16．(2017•山东理，13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为__2＋π2__.导学号09024228

　　[解析]该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.

　　三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

　　17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1︰4，母线长为10cm.求圆锥的母线长.导学号09024229

　　[解析]如图，设圆锥母线长为l，则l－10l＝14，所以l＝403cm.

　　18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4cm，求这个四棱锥的体积.导学号09024230

　　[解析]如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，

　　∵AB＝BC＝2cm，

　　在正方形ABCD中，

　　求得CO＝2cm，

　　又在直角三角形VOC中，

　　求得VO＝14cm，

　　∴VV－ABCD＝13SABCD•VO＝13×4×14＝4143(cm3)．

　　故这个四棱锥的体积为4143cm3.

　　19．(本小题满分12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.导学号09024231

　　[解析]因为V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134(cm3)，

　　V圆锥＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，

　　134<201，

　　所以V半球

　　所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．

　　20．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积.导学号09024232

　　[解析]由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π(32)2×1＝7π4.

　　21．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.导学号09024233

　　[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.

　　由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，

　　∴V圆锥＝13πr2h，

　　∴V球＝43πr3.

　　又h＝2r，

　　∴V圆锥︰V球︰V圆柱＝(13πr2h)︰(43πr3)︰(πr2h)＝(23πr3)︰(43πr3)︰(2πr3)＝1︰2︰3.

　　22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).导学号09024234

　　试求：(1)AD的长；

　　(2)容器的容积．

　　[解析](1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，

　　则OD＝72－x，由题意得

　　2πR＝60•π180×7272－x＝3R，∴R＝12x＝36.

　　即AD应取36cm.

　　(2)∵2πr＝π3•OD＝π3•36，∴r＝6cm，

　　圆台的高h＝x2－R－r2＝362－12－62＝635.

　　∴V＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π•635•(122＋12×6＋62)

　　＝50435π(cm3)．

　　【二】

　　第Ⅰ卷(选择题共60分)

　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为导学号09024609(D)

　　A．5B．4C．9D．1

　　[解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．

　　2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线导学号09024610(B)

　　A．平行B．垂直C．相交D．异面

　　[解析]当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．

　　3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是导学号09024611(D)

　　A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行

　　B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行

　　C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

　　D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

　　[解析]A项，α、β可能相交，故错误；

　　B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

　　C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

　　D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．

　　4．(2016～2017•枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是导学号09024612(B)

　　A．相交B．平行C．异面D．不确定

　　[解析]l⊥ABl⊥ACAB∩AC＝A⇒l⊥平面ABCm⊥BCm⊥ACAC∩BC＝C⇒m⊥平面ABCl∥m

　　5．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号09024613(A)

　　A．①③⇒②；①②⇒③

　　B．①③⇒②；②③⇒①

　　C．①②⇒③；②③⇒①

　　D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①

　　[解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，

　　又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②；

　　因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，

　　又因为l⊥α，所以n⊥α，

　　又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.

　　6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有导学号09024614(B)

　　A．1条B．2条C．3条D．4条

　　[解析]如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．

　　7．(2016～2017•浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则导学号09024615(C)

　　A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n

　　[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．

　　8．(2016•南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为导学号09024616(C)

　　A．30°B．45°C．60°D．90°

　　[解析]如图，连接A1C1、BC1、A1B.

　　∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，

　　∴MN∥BC1.

　　又A1C1∥AC，

　　∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．

　　∵△A1BC1为正三角形，

　　∴∠A1C1B＝60°.故选C．

　　9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为导学号09024617(C)

　　A．30°B．60°C．90°D．120°

　　[解析]如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2.

　　∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，

　　∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

　　∵AC＝1，MC＝MA＝22，∴MC2＋MA2＝AC2，

　　∴∠CMA＝90°，故选C．

　　10．点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为导学号09024618(A)

　　A．线段B1C

　　B．BB1的中点与CC1的中点连成的线段

　　C．线段BC1

　　D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段

　　[解析]∵AP⊥BD1恒成立，

　　∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.

　　∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，

　　∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．

　　11．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影长分别是m和n，若a＞b，则导学号09024619(D)

　　A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ，m＜n

　　C．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n

　　[解析]由勾股定理得a2＋n2＝b2＋m2＝AB2.

　　又a＞b，∴m＞n.

　　由已知得sinθ＝bAB，sinφ＝aAB，而a＞b，

　　∴sinθ＜sinφ，

　　又θ，φ∈(0，π2)，∴θ＜φ.

　　12．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为导学号09024620(C)

　　A．KB．HC．GD．B′

　　[解析]应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．

　　第Ⅱ卷(非选择题共90分)

　　二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

　　13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是__直角三角形__.导学号09024621

　　[解析]如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．

　　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

　　∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC.

　　又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC.

　　又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，

　　∴BC⊥AB.

　　∴△ABC为直角三角形．

　　14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于__90°__.导学号09024622

　　[解析]因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.

　　又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，

　　所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.

　　15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC)__时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号09024623

　　[解析]连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.

　　16．(2017•全国卷Ⅰ文，16)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__36π__.导学号09024624

　　[解析]如图，连接OA，OB.

　　由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.

　　由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.

　　设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，

　　∴三棱锥S－ABC的体积V＝13×(12SC•OB)•OA＝r33，

　　即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.

　　三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

　　17．(本小题满分10分)(2017•山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.导学号09024625

　　(1)证明：A1O∥平面B1CD1；

　　(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

　　[解析](1)证明：取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

　　由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，

　　所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

　　因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，

　　又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

　　所以A1O∥平面B1CD1.

　　(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，

　　所以EM⊥BD.

　　又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

　　所以A1E⊥BD，

　　因为B1D1∥BD，

　　所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.

　　又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，

　　所以B1D1⊥平面A1EM.

　　又B1D1⊂平面B1CD1，

　　所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

　　18．(本小题满分12分)(2016～2017•宁波高二检测)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分别是线段PA，PC的中点.导学号09024626

　　(1)求证：MN∥平面ABCD；

　　(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．

　　[解析](1)连接AC，交BD于点O.

　　因为M，N分别是PA，PC的中点，所以MN∥AC.

　　因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

　　所以MN∥平面ABCD.

　　(2)由(1)知MN∥AC，∴∠ACB为异面直线MN与BC所成的角．

　　∵四边形ABCD为菱形，边长AB＝2，对角线长BD＝23，

　　∴△BOC为直角三角形，且sin∠ACB＝BOBC＝32，

　　∴∠ACB＝60°.

　　即异面直线MN与BC所成的角为60°.

　　19．(本小题满分12分)(2017•北京文，18)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.导学号09024627

　　(1)求证：PA⊥BD；

　　(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

　　(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

　　[解析](1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

　　又因为BD⊂平面ABC，

　　所以PA⊥BD.

　　(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.

　　由(1)知，PA⊥BD，

　　所以BD⊥平面PAC，

　　所以平面BDE⊥平面PAC.

　　(3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，

　　所以PA∥DE.

　　因为D为AC的中点，

　　所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2.

　　由(1)知，PA⊥平面ABC，

　　所以DE⊥平面ABC，

　　所以三棱锥E－BCD的体积V＝16BD•DC•DE＝13.

　　20．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.导学号09024628

　　(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；

　　(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论；

　　(3)证明：直线DF⊥平面BEG.

　　[解析](1)点F、G、H的位置如图所示．

　　(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下：

　　因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，

　　又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

　　于是四边形BCEH为平行四边形，

　　所以BE∥CH，

　　又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

　　所以BE∥平面ACH，

　　同理，BG∥平面ACH，

　　又BE∩BG＝B，

　　所以平面BEG∥平面ACH.

　　(3)连接FH交EG于点O，连接BD.

　　因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，

　　因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，

　　又EG⊥FH，EG∩FH＝O，

　　所以EG⊥平面BFHD，

　　又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，

　　同理DF⊥BG，

　　又EG∩BG＝G，

　　所以DF⊥平面BEG.

　　21．(本小题满分12分)(2017•天津文，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.导学号09024629

　　(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

　　(2)求证：PD⊥平面PBC；

　　(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

　　[解析](1)解：如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．

　　因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.

　　在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，

　　故cos∠DAP＝ADAP＝55.

　　所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.

　　(2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.

　　又PD⊥PB，PB∩BC＝B，

　　所以PD⊥平面PBC.

　　(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．

　　因为PD⊥平面PBC，

　　所以PF为DF在平面PBC上的射影，

　　所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．

　　由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.

　　由已知，得CF＝BC－BF＝2.

　　又AD⊥DC，所以BC⊥DC.

　　在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，

　　在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.

　　所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.

　　22．(本小题满分12分)(2016～2017•济宁高一检测)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示.导学号09024630

　　(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；

　　(2)求二面角B－PA－C的大小．

　　[解析]根据三视图可知：PA垂直于平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点，ABCD是边长为4的正方形，且PA＝4.

　　(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FG∥PA，GE∥BC，所以FG⊥平面ABCD，∠FEG为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°.

　　(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，

　　所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．

　　又因为∠BAC＝45°，

　　所以二面角B－AP－C的平面角的大小为45°.

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