2017初三年级质量普查调研考试答案_2017初三年级奥数知识点归纳

第一章 一元二次方程
概述——形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程称为一元二次方程，使等式成立的实数称为此方程的实数根。
1、含字母系数的一元二次方程：
解决含字母系数的一元二次方程的问题，经常需要对该方程的根进行分析、处理。 常用方法有：（1）利用解的定义，整体代入法，从而达到将高次方程降次的目的或其他；（2）从两个方程的公共实根出发，先确定该公共实根的值，再求各系数；（3）解决整数根常用方法有：①利用韦达定理，再拆分，然后验根；②含字母系数的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再双重检验（验△，验整数根条件）；③利用△缩小字母系数的范围，再验根进行取舍。（4

）利用不等式的性质（如x+y≥；（5）求出方程解，再消去未知系数，求不定方程的解，再带回求参数的方法；（6）利用韦达定理，再消参数法；（7）参数交换法（即把字母系数与未知数的地位互换时，所得方程与原方程完全一样，从而将一个较弱的条件得以加强，从而使问题的本质浮出水面）等。
2、根的判别式与韦达定理：
概述——一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的条件是∆=b2-4ac≥0，设x1,x2为此方程的两个根，则根与系数之间存在如下关系：
x1+x2=-
x1x2=caba
3、可化为一元二次方程的方程（组）
概述——我们总是将方程的求解问题利用代数式变形转化为一次方程或一元二次方程来处理，这是化规思想在方程理论中的基本运用。实现这一转化的方法是多种多样的，换元法是其中最常用的方法。具体到各个问题时，应根据方程的特点灵活处理。
常见题型的常用处理办法：（1）一般代数三次方程尽管有求根公式，但中学阶段不会出现需用到求根公式才能处理的三次方程，给出的三次方程，往往容易看出其中的一个根，再由因式定理转化为求解一个一元二次方程。（2）利用换元法达到降次的目的；（3）拆、添项因式分解求解；（4）处理系数对称的高次方程，常用下题的解法（如解方程2x+3x-16x+3x+2=0。变形得到：2(x+43221
x)+3(x+21x)-16=0，进而得到：
121⎡⎤（5）参数交换法；（6）利用一2⎢(x+)-2⎥+3(x+)-16=0，然后再换元求解即可）xx⎣⎦
元二次方程根的判别式，构造一元二次方程解题（如：已知x、y为有理数，且
5522x+y=2xy。证明1－xy时一个有理数的平方。证明：若x、y中有一个为0，则1－
x2y2xxy＝1时一个有理数的平方。若xy≠0，两边除以x2y2，得：令t＝()2，x()+y()=2。yxy
由x、y为有理数，可知关于t的一元二次方程：xt2-2t+y=0有有理根。而上述方程的系数均为有理数，故△＝4－4xy＝4（1－xy）是一个有理数的平方。所以，1－xy是一个有理数的平方。）
4、整系数一元二次方程：
一般地，若整系数一元二次方程有整数根，则该方程的根的判别式是一个完全平方数。这一性质在处理一元二次方程的整数根问题时经常被用到。
常用方法有：（1）利用韦达定理拆分，再利用数论方法与技巧；（2）利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根（如a，b模m同余等）问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出奇制胜；（3）利用判别式处理（即如利用△＝(2k+1)2-40=m2【为完全平方数】，再利用平方差展开和整系数进而求解。）（4）利用函数图像方法。
5、勾股数与完全平方数：
称满足不定方程x2+y2=z2的正整数数组（x,y,z）为勾股数组（国际上，一般称为毕达哥拉斯数组）。勾股数组有许多有趣的性质，例如，若（x，y，z）为勾股数组，则x、y、z中有一个数为3的倍数；有一个数为4的倍数；也有一个数为5的倍数。
完全平方数是一类重要的自然数，竞赛中许多问题要用到完全平方数的性质。
说明：（1）如果两个互质的自然数之积是一个完全平方数，则这两个自然数都是完全平方数。
（2）如果正整数x可表示为两个正整数的平方和，则2x也可表示为两个正整数的平方和。（如x=u+v，2x=2u+2v=(u+v)+(u-v)。于是2x可表示为两个整数u+v和u-v的平方和。
（3）相邻两个完全平方数之间的自然数都不是完全平方数。
（4）在勾股三角形中，周长为面积的整数倍的三角形，可以用勾股数组来试探，这一过程是发现勾股数性质的一般尝试方法。
第二章 函数
1、函数及其图像：
某个变化过程中有两个变量，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有确定的值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f(x)，x∈D（为方便，这里沿用集合的记号，x∈D，读作x属于D，表示x在范围D内变换，或x是集合D的元素）。X的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相应的y值叫做函数值，函数值的全体构成的集合叫做函数的值域。
要求会用函数解方程组问题，判断图像题，求方程的解的题。
2、一元二次不等式的解与一元二次方程实数根的分布：
我们把形如ax2+bx+c〉0，ax2+bx+c〈0（a≠0）的不等式叫做一元二次不等式。要会二次函数的图像来解一元二次不等式。
对于ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为x1、x2（x1＜x2，记f(x)＝ax2+bx+c，则不等式ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c〈0）的解就是y=f(x)的图像在x轴上方（或x轴下方）所对应的x的全体；
若a＞0，△＞0，则ax2+bx+c〉0的解集为x〈x1或x〉x2； ax2+bx+0c〈的解集为x1〈x〈x2。 若a＞0，△＝0，则ax2+bx+c〉0的解集为x≠-
b2a
的全体实数；
ax2+bx+0c〈的解集为空集； 若a＞0，△＜0，则ax2+bx+c〉0的解集为全体实数； ax2+bx+0c〈的解集为空集； 此类题要求会用二次函数图像的方法解题。

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