初中竞赛数论基础知识-初中奥数数论基础知识巩固练习题

副标题:初中奥数数论基础知识巩固练习题

时间:2023-07-23 19:00:01 阅读: 最新文章 文档下载
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1、(多用于求最小公倍数)
2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]
3、[a,b]是(a,b)的倍数,(a,b)是[a,b]的约数
4、(a,b)是a+b 和a-b 的约数,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-
[a,b]的约数
(4)求公约数的方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如:1、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数是多少?
解:∵
(30,60,75)=5×3=15
这个数是15。
2、(分解质因数法)求1001和308的公约数是多少?
解:1001=7×11×13(这个质分解常用到) , 308=7×11×4
所以公约数是7×11=77
在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便是公约数。
3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的公约数。
解:∵4811=2×1981+849,
1981=2×849+283,
849=3×283,
∴(4811,1981)=283。
补充说明:如果要求三个或更多的数的公约数,可以先求其中任意两个数的公约数,再求这个公约数与另外一个数的公约数,这样求下去,直至求得最后结果。
(5)约数个数公式
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例如:求240的约数的个数。
解:∵240=24×31×51,
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20个约数。
四 奇偶性
(1)奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。 特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。
最小的奇数是1 ,最小的偶数是0 .
(2)奇数与偶数的运算性质
性质1:偶数±偶数=偶数,
奇数±奇数=偶数。
性质2:偶数±奇数=奇数。
性质3:偶数个奇数相加得偶数。
性质4:奇数个奇数相加得奇数。
性质5:偶数×奇数=偶数,
奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数
(3)反证法
例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”.请说明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

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