初中竞赛数论基础知识-初中奥数数论基础知识巩固练习题

1、(多用于求最小公倍数)
2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]
3、[a，b]是(a，b)的倍数，(a，b)是[a，b]的约数
4、(a，b)是a+b 和a-b 的约数，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-
[a，b]的约数
(4)求公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：1、(短除法)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数是多少?
解：∵
(30，60，75)=5×3=15
这个数是15。
2、(分解质因数法)求1001和308的公约数是多少?
解：1001=7×11×13(这个质分解常用到) ， 308=7×11×4
所以公约数是7×11=77
在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是公约数。
3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的公约数。
解：∵4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴(4811，1981)=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的公约数，可以先求其中任意两个数的公约数，再求这个公约数与另外一个数的公约数，这样求下去，直至求得最后结果。
(5)约数个数公式
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例如：求240的约数的个数。
解：∵240=24×31×51，
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，
∴240有20个约数。
四 奇偶性
(1)奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k(k为整数)表示，奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
最小的奇数是1 ，最小的偶数是0 .
(2)奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数
(3)反证法
例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

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