[2017年奥数获奖名单]2017初中奥数数论基础练习题

内容与方法：整除性、分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股数、不定方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、p进制
1、在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程序执
行这样的操作：每次可选中多边形连续的a个顶点(其中a是小于2011的一个固定的正整数)，一按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑;
(1)、证明：如果a为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色;
(2)、当a为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色?
00
证明你的结论.
2、试求x7y2011的所有正整数(x,y).
2
2
3、如果正整数a可表为：a235(m,n,kN)，就称a为好数.证明：
1a1
3
mnk
存在2012个互异好数a1,a2,,a2012，满足：

1a2
3

1a2011
3

1a2012
3
.
4、设n4，若n元正整数集合M满足：对任何整数k，都存在a,bM，ab，
使得ak与bk是不互质的数，就称M为“好集”.
证明：若M为“好集”，且M中所有元素之和为2011，则存在cM，使得从M中删去元素c后，所得到的集MM\c仍为“好集”.
n
n
2012
5、设数n为正奇数，满足n
k
k1
，证明：n
2
k
k1
2013
.
6、设T(n)为正整数n
的正因数的个数，证明：T(n)
2
2
2
7、设P1,2,3,为全体正整数的平方所构成的集合，如果正整数n能表成集
合P中的若干个(至少一个)互异元素之和，就称“数n具有P结构”，记为nP;证明：不具有P结构的正整数只有有限多个.
8、对于给定的有限项的正整数数列a1,a2,,an,进行如下操作：如果jk，并且aj
不整除ak，那么将aj,ak分别换成(aj,ak)和[aj,ak];
证明：这个过程是有限的，并且最终的结果是的.
9、若正整数m,n,k满足：mnk1，证明：存在x1,x2,y1,y2N，使以下三式：
mx1y1, nx2y2, kx1x2y1y2 同时成立.
p12
2
2
2
2
2
10、若p4n1为质数，则
r1
r2p1
，(即 p4k2
. pn)
k1
2n
11、设p为奇质数，a,b是小于p的正整数，证明：abp的必要充分条件是：对
2an2bn
任何小于p的正整数n，均有正奇数. (其中方括号表示取整.)
pp

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