高三数学竞赛题:高三数学竞赛题

1．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.
2. 设n（≥2）是整数，证明：
3. 在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．对任意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相应的小方格中，这称为一次变动．是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为1？
4. 求出大于1的整数的个数，使得对任意的整数，都有

加试模拟训练题（61）
1．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.
∵QK·AQ=MQ·QN，
∴QK=
==.
由Rt△EPQ知PQ=.
∴PK=PQ+QK=+=.
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
2. 设n（≥2）是整数，证明：
【题说】1992年日本数学奥林匹克题3．
3. 在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．对任意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相应的小方格中，这称为一次变动．是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为1？
【题说】 1992年中国数学奥林匹克题3．
【解】答案是否定的．
如图a(未填数的空格中填1)经一次变换得图b，再经一次变换又恢复为图a，反反复复，永远不能使所有的数都变成1．

4. 求出大于1的整数的个数，使得对任意的整数，都有
解 设满足条件的正整数组成集合S，若，，则，因此S 中全部数的最小公倍数也属于S ，即S中的数是其余每个数的倍数。，则的约数也整除，于是只需确定数，其一切大于1的约数组成集合S。
，并且，由费马小定理，易证，所以，集合S共有31个元素。

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