高二数学必修四B版:人教A版高二数学必修四教案

【#高二# 导语】着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别*的痛苦中，进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。®文档大全网高二频道为你整理了《人教A版高二数学必修四教案》，希望对你有所帮助！

　　【篇一】

　　预习课本P103～105，思考并完成以下问题

　　(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

　　(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

　　(3)向量数量积的性质有哪些？

　　(4)向量数量积的运算律有哪些？

　　[新知初探]

　　1．向量的数量积的定义

　　(1)两个非零向量的数量积：

　　已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ

　　定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ

　　记法a·b＝|a||b|cosθ

　　(2)零向量与任一向量的数量积：

　　规定：零向量与任一向量的数量积均为0.

　　[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．

　　(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．

　　2．向量的数量积的几何意义

　　(1)投影的概念：

　　①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.

　　②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.

　　(2)数量积的几何意义：

　　数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

　　[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.

　　(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．

　　3．向量数量积的性质

　　设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

　　(1)a⊥b⇔a·b＝0.

　　(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，

　　当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

　　(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.

　　(4)cosθ＝a·b|a||b|.

　　(5)|a·b|≤|a||b|.

　　[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．

　　4．向量数量积的运算律

　　(1)a·b＝b·a(交换律)．

　　(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

　　(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

　　[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.

　　(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．

　　[小试身手]

　　1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

　　(1)两个向量的数量积仍然是向量．()

　　(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()

　　(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.()

　　(4)若a·b＝0，则a⊥b.()

　　答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

　　2．若|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，则a·b＝()

　　A．2B.12

　　C．1D.14

　　答案：B

　　3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，则a与b的夹角为()

　　A．60°B．120°

　　C．135°D．150°

　　答案：B

　　4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.

　　(1)若θ＝135°，则a·b＝________；

　　(2)若a∥b，则a·b＝________；

　　(3)若a⊥b，则a·b＝________.

　　答案：(1)－32(2)6或－6(3)0

　　向量数量积的运算

　　[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·

　　(a－2b)．

　　(2)如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.

　　[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.

　　②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.

　　(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，

　　∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.

　　向量数量积的求法

　　(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．

　　(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法

　　运算．

　　[活学活用]

　　已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：

　　(1)a·b；(2)a2－b2；

　　(3)(2a－b)·(a＋3b)．

　　解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.

　　(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.

　　(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2

　　＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2

　　＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.

　　与向量的模有关的问题

　　[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.

　　(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

　　[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，

　　∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.

　　又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.

　　∵b·(e1－e2)＝0，

　　∴b与e1，e2的夹角均为30°，

　　∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，

　　从而|b|＝1cos30°＝233.

　　(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，

　　∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，

　　|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.

　　[答案](1)233(2)32

　　求向量的模的常见思路及方法

　　(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．

　　(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．

　　[活学活用]

　　已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.

　　解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)

　　＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°

　　＝50＋2×5×5×12＝75，

　　∴|a＋b|＝53.

　　∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)

　　＝|a|2＋|b|2－2a·b

　　＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，

　　∴|a－b|＝5.

　　∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)

　　＝4|a|2＋|b|2＋4a·b

　　＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，

　　∴|2a＋b|＝57.

　　两个向量的夹角和垂直

　　题点一：求两向量的夹角

　　1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()

　　A.π3B.π2

　　C.2π3D.5π6

　　解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，

　　∴2|a|2＋a·b＝0，

　　即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.

　　∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，

　　∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.

　　题点二：证明两向量垂直

　　2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．

　　证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，

　　∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.

　　即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，

　　∴a2＝b2.

　　∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.

　　又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，

　　∴(a＋b)⊥(a－b)．

　　题点三：利用夹角和垂直求参数

　　3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()

　　A．－32B.32

　　C．±32D．1

　　解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，

　　∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，

　　∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.

　　∵a⊥b，∴a·b＝0，

　　又|a|＝2，|b|＝3，

　　∴12k－18＝0，k＝32.

　　求向量a与b夹角的思路

　　(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．

　　(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．

　　层级一学业水平达标

　　1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()

　　A.π6B.π4

　　C.π3D.π2

　　解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.

　　2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()

　　A．3B.92

　　C．2D.12

　　解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，

　　∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.

　　3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()

　　A．－6B．6

　　C．3D．－3

　　解析：选B∵c·d＝0，

　　∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，

　　∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，

　　∴2k＝12，∴k＝6.

　　4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()

　　A．37B．13

　　C.37D.13

　　解析：选C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2

　　＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.

　　5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()

　　A．矩形B．菱形

　　C．直角梯形D．等腰梯形

　　解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．

　　6．给出以下命题：

　　①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；

　　②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；

　　③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.

　　其中，正确命题的序号是________．

　　解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．

　　答案：③

　　7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.

　　解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.

　　答案：－92

　　8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．

　　解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，

　　∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.

　　∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，

　　∴cos〈a，b〉＝－12.

　　又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.

　　答案：120°

　　9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的

　　夹角．

　　解：因为|e1|＝|e2|＝1，

　　所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，

　　|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，

　　|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，

　　且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，

　　所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，

　　所以a与b的夹角为120°.

　　10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.

　　(1)求a与b的夹角θ；

　　(2)求(a－2b)·b；

　　(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？

　　解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，

　　∴|a|＝2，|b|＝1.

　　又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，

　　∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.

　　∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.

　　(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.

　　(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，

　　∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2

　　＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.

　　层级二应试能力达标

　　1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，则向量m＝a－4b的模为()

　　A．2B．23

　　C．6D．12

　　解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.

　　2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于()

　　A．－16B．－8

　　C．8D．16

　　解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.

　　法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，故选D.

　　3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()

　　A．1B.3

　　C.5D．3

　　解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|

　　＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.

　　4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝()

　　A．－3B．0

　　C．－1D．1

　　解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·(－)

　　＝12·－||2＋12||2

　　＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.

　　5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．

　　解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.

　　又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.

　　则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，

　　∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

　　法二：如图，作＝＝a，

　　＝b，则＝c.

　　∵a⊥b，∴AB⊥BC，

　　又∵a－b＝－＝，

　　(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，

　　所以△ABC是等腰直角三角形，

　　∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

　　答案：4

　　6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．

　　解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.

　　答案：21

　　7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.

　　(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.

　　解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，

　　∴a2－b2＝12，

　　即|a|2－|b|2＝12.

　　又|a|＝1，

　　∴|b|＝22.

　　∵a·b＝12，

　　∴|a|·|b|cosθ＝12，

　　∴cosθ＝22，

　　∴向量a，b的夹角为45°.

　　(2)∵|a－b|2＝(a－b)2

　　＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，

　　∴|a－b|＝22.

　　8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

　　解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，

　　得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|<0.即

　　(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得

　　2t2＋15t＋7<0，解得－7

　　当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，

　　但此时夹角不是钝角，

　　设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得

　　2t＝λ，7＝λt，λ<0，⇒λ＝－14，t＝－142.

　　∴所求实数t的取值范围是

　　－7，－142∪－142，－12.

　　【篇二】

　　[新知初探]

　　平面向量共线的坐标表示

　　前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0

　　结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线

　　[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；

　　(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.

　　[小试身手]

　　1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

　　(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.()

　　(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()

　　答案：(1)√(2)√

　　2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是()

　　A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)

　　答案：C

　　3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于()

　　A．－12B.12C．－2D．2

　　答案：D

　　4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．

　　答案：73，0

　　向量共线的判定

　　[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()

　　A.12B.13C．1D．2

　　(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

　　[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.

　　法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.

　　[答案]A

　　(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，

　　∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．

　　又＝－2，∴，方向相反．

　　综上，与共线且方向相反．

　　向量共线的判定方法

　　(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

　　(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

　　[活学活用]

　　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？

　　解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，

　　a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

　　若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，

　　解得k＝－13，此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．

　　∴k＝－13时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．

　　三点共线问题

　　[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；

　　(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点

　　共线？

　　[解](1)证明：∵＝－＝(4,8)，

　　＝－＝(6,12)，

　　∴＝32，即与共线．

　　又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．

　　(2)若A，B，C三点共线，则，共线，

　　∵＝－＝(4－k，－7)，

　　＝－＝(10－k，k－12)，

　　∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.

　　解得k＝－2或k＝11.

　　有关三点共线问题的解题策略

　　(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；

　　(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．

　　[活学活用]

　　设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？

　　解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，

　　＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，

　　＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．

　　由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.

　　又与方向相同，所以x＝2.

　　此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，

　　而2×2≠－3×1，所以与不共线，

　　所以A，B，C三点不在同一条直线上．

　　所以A，B，C，D不在同一条直线上．

　　向量共线在几何中的应用

　　题点一：两直线平行判断

　　1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；

　　证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，

　　设||＝1，则||＝1，||＝2.

　　∵CE⊥AB，而AD＝DC，

　　∴四边形AECD为正方形，

　　∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．

　　∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，

　　＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

　　∴＝，∴∥，即DE∥BC.

　　题点二：几何形状的判断

　　2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

　　证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，

　　＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．

　　∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．

　　＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，

　　∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．

　　∴四边形ABCD是梯形．

　　∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，

　　∴||＝5＝||，即BC＝AD.

　　故四边形ABCD是等腰梯形．

　　题点三：求交点坐标

　　3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．

　　解：法一：设＝t＝t(4,4)

　　＝(4t,4t)，

　　则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，

　　＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．

　　由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，

　　解得t＝34.∴＝(3,3)．

　　∴P点坐标为(3,3)．

　　法二：设P(x，y)，

　　则＝(x，y)，＝(4,4)．

　　∵，共线，

　　∴4x－4y＝0.①

　　又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，

　　且向量，共线，

　　∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②

　　解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，

　　∴点P的坐标为(3,3)．

　　应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

　　层级一学业水平达标

　　1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()

　　A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

　　B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

　　C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

　　D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34

　　解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.

　　2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()

　　A．－23B.32

　　C.23D．－32

　　解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，

　　∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.

　　3．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()

　　A．(2,1)B．(－6，－3)

　　C．(－1,2)D．(－4，－8)

　　解析：选D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．

　　4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()

　　A．－3B．2

　　C．4D．－6

　　解析：选D因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.

　　5．设a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为()

　　A．30°B．60°

　　C．45°D．75°

　　解析：选A∵a∥b，

　　∴32×13－tanαcosα＝0，

　　即sinα＝12，α＝30°.

　　6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．

　　解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，

　　∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.

　　答案：1

　　7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.

　　解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，

　　∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.

　　答案：23

　　8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．

　　解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，

　　∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，

　　λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，

　　又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，

　　∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，

　　∴λ＝μ.

　　答案：λ＝μ

　　9．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求证：∥.

　　证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

　　依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．

　　∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．

　　∴点E的坐标为－13，23.

　　同理点F的坐标为73，0，＝83，－23.

　　又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.

　　10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．

　　(1)求a＋b；

　　(2)若a与m平行，求实数λ的值．

　　解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，

　　所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．

　　(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，

　　所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．

　　又因为a＝(2,1)，且a与m平行，

　　所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.

　　层级二应试能力达标

　　1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()

　　A．平行于x轴

　　B．平行于第一、三象限的角平分线

　　C．平行于y轴

　　D．平行于第二、四象限的角平分线

　　解析：选C因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．

　　2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()

　　A．13B．－13

　　C．9D．－9

　　解析：选DA，B，C三点共线，

　　∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，

　　∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.

　　3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()

　　A．k＝1且c与d同向

　　B．k＝1且c与d反向

　　C．k＝－1且c与d同向

　　D．k＝－1且c与d反向

　　解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．

　　4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()

　　A．(1,5)或(5,5)

　　B．(1,5)或(－3，－5)

　　C．(5，－5)或(－3，－5)

　　D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)

　　解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，

　　①若这个平行四边形为▱ABCD，

　　则＝，∴D(－3，－5)；

　　②若这个平行四边形为▱ACDB，

　　则＝，∴D(5，－5)；

　　③若这个平行四边形为▱ACBD，

　　则＝，∴D(1,5)．

　　综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．

　　5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．

　　解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)

　　＝(x＋4，y－2)，

　　∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．

　　∵∥，

　　∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.

　　答案：0

　　6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．

　　解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．

　　∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，

　　∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.

　　答案：m≠12

　　7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．

　　(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；

　　(2)若＝2，求点C的坐标．

　　解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线．

　　＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，

　　∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.

　　(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，

　　∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，

　　∴点C的坐标为(5，－3)．

　　8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．

　　解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，

　　＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．

　　由B，P，D三点共线可得＝＝(5λ，4λ)．

　　又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，

　　由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.

　　解得λ＝47，

　　∴＝47＝207，167，

　　∴P的坐标为277，167.

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