(考试时间:120分钟 总分:160分)
命题人:朱占奎 张圣官 展国培 张敏
审题人:丁凤桂 石志群
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 参考公式:数学期望:E(x)?
方差:V(x)??[x?E(x)]?xp,
ii
i
i?1
i?1
n
n
2
pi??xi2pi?[E(x)]2
i?1
n
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.复平面内,复数z?1?i所对应的点在第 2.命题“?x?R,使得2sinx?1成立”的否定是.
23.已知?1?2x??a0?a1x?a2x?
10
?a10x10,则a0?a1?a2?a3??a01?
4.写出命题“若abc?0,则b?0”的逆否命题:.
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则甲、乙相邻的不同排法种数是.(用数字作答)
6.若复数z满足z?1?i?1,则复数z的模的值是.
7.命题:若x12?y12?1,则过点?x1,y1?的直线与圆x?y?1有两个公共点.将此命题
2
2
类比到椭圆x?2y?1中,得到一个正确命题是 ▲ .
8.某人每次射击命中目标的概率为0.8,现连续射击10次,设击中目标的次数为X, 则E?X?= ▲ .
9.已知:1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;请写出第100个等式: ▲ .
,按此规律
22
2?i201510.已知复数z1??1?i??2i?1?和复数z2?m?,当m为 ▲ 时,z1?z2.
1?i
x?13
11.已知4C17,则x?. ?17C16
11111n?1
12.在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数n,?????n?”
246824
的过程中,从n?k到n?k?1时,左边增加的项数为 ▲ .
13.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,
其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,
则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有 ▲ 种.(用数字作答)
nn?1n?2
14.已知?x?a??m1x?m2x?m3x?
n
?mnx?mn?1,其中n?N*,a为常数.则
下列所有正确命题的序号是 ▲ . ⑴“m1,m2,m3,
; ,mn?1中存在负数”的一个充分条件是“a??1”
⑵若n?5,则“1?a?2”是“m4为m1,m2,m3,条件;
,m6中的一个”的必要不充分
⑶若n?5,则“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3个成立”的充要条件是“1?a?2”;
⑷若a?0,则“n是4的倍数”是“m1?m2?m3
mn?1?0”的充分不必要条件.
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分) 已知圆C:x?y?1在矩阵M??⑴求曲线C1的方程;
⑵求逆矩阵M;
⑶求矩阵M的特征值和特征向量. 16.(本题满分14分) 已知直线l过点P?4,0?,且倾斜角为⑴求直线l的极坐标方程;
?1
22
?20?
?所对应的变换作用下变为曲线C1. 01??
3π
. 4
12?x?t??8
⑵求直线l被曲线C:?(t为参数)截得的弦长.
?y?1t??2
17.(本题满分14分)
一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和n个白球,事件“从中取出两个球,恰好有一个红球”发生的概率为p. ⑴若p?
4, 7
①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率;
②设X为取出的4个球中红球的个数,求X的数学期望E?X?和方差V?X?. ⑵求证:p?
3; 5
18.(本题满分16分)
a2
和g?x??x?2ax?2. x
⑴命题p:?x??2,???,f?x??2恒成立;命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增.若p和q都是真命题,求实数a的取值范围;
已知函数f?x??x?⑵设F?x???
??f?x?,x?2
,若对?x1??2,???,总存在x2????,2?,使得
??g?x?,x?2
F?xF?2?x成立,求实数a的取值范围. 1??
19.(本题满分16分) 设集合A,An,1,A2,A3,
中元素的个数分别为1,2,3,,n,
.现从集合
An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素,记不同取法种数为f(n). ⑴求f(1);
⑵是否存在常数a,b,使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)对任
*
意n?N总成立?若存在,请求出a,b的值,并用数学归纳法证明;若不存在,请说明理
由. 20.(本题满分16分)
已知等差数列{an}的公差为d,且(a1x?d)5的展开式中x与x的系数之比为2. a3?5,⑴求(a1x?a2)6的展开式中二项式系数的项; ⑵设[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
2
3
?b2n(x?2)2n,n?N*,求
a1b1?a2b2??a2nb2n;
an?1
⑶当n?2时,求证:(an?1)
?11?16n?8n4.
2014~2015学年度第二学期期末联考
1.四 2.?x?R,2sinx?1总成立 3.1 4.若b?0,则abc?0
1
2222
7.若x1?2y1?1,则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8.8 9.1?2?3?4??99?100??50
k?1
10.?4 11.5或14 12.2 13.930 14.⑴⑶⑷
?,y0?),则 15.解:⑴设P(x0,y0)为圆C上的任意一点,在伸压变换下变为另一点P?(x0
5.12 6.
???20??x0??x0
?y????01??y?,
??0??0??x????2x0?x0?x0?0
即?,所以,?2
??y0?y0???y0?y0
?2x0
?2?1. ?y0又因为点P在曲线x?y?1上,所以x?y?1,故有4x222
?y2?1.…………4分 即圆C:x?y?1在矩阵M对应的伸压变换下变为椭圆:4
?xy??20??xy??10?
⑵设矩阵M的逆矩阵为??,则?01??zw???01?,
zw????????
1?x??2
?2x2y??10??y?0即? ???01?,故?zw?????z?0
?
?w?1?1?
0?1
?. …………8分 从而所求的逆矩阵M??2?01???
??20
⑶矩阵M的特征多项式为f(?)??(??2)(??1),
0??1
令f(?)?0,解得矩阵M的特征值?1?2,?2?1. …………10分
?(??2)x?0?y?0
将?1?2代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得y?0,x可以为任何非零实数,不妨记x?k,k?R,且k?0.
?1?
于是,矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为??. …………12分
?0?
?(??2)x?0?y?0
将?2?1代入二元一次方程组?
?0?x?(??1)y?0
解得x?0,y可以为任何非零实数,不妨记y?m,m?R,且m?0.
?0?
于是,矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为??.
?1?
?1??20?
??2??1因此,矩阵M??的特征值为,,分别对应的一个特征向量是,12???
?0??01?
2
2
2
020
?0?
?1?. …………14分 ??
16.解:⑴设直线l上任意一点为Q(?,?), 如图,在?POQ中,由正弦定理得
OQOP
?
sin?OPQsin?OQP
3?4??)?22.,即?sin(34sin??;3???)?22.…………7分所以,直线的极坐标;12⑵应用代入消元法,得x?(2y),8;因此所求的普通方程是y2?2x,它表示的曲线是抛;直线l的普通标方程是x?y?4;设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x;?x?y?4?y1?2?y2??4;AB?(8?2)2?(?4?2)2?62;所以,直
--------------------------------------------------------------------------------
3?4??)?22. ,即?sin(34sin??)44
3???)?22. …………7分 所以,直线的极坐标方程是?sin(4
12⑵应用代入消元法,得x?(2y), 8
因此所求的普通方程是y2?2x,它表示的曲线是抛物线.
直线l的普通标方程是x?y?4
设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x2,y2), 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组,得?,?或?,
?x?y?4?y1?2?y2??4
AB?(8?2)2?(?4?2)2?62
所以,直线l被曲线截得的弦长为62. …………14分
17.解⑴记“从中取出两个球,恰好有一个红球”为事件A
113C3C6n4P(A)?2n?2?,(n?4)(2n?3)?0,解得n?4或n?(舍) 2Cn?3n?5n?67
故n?4. …………2分
①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件,记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B,则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B.
3C44P(B)?3?, C735
31. 35
31答:从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为. …………6分 35
②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数,则X服从超几何分布H(4,3,7). 随机变量X的可能值有4种,它的取值集合是?0,1,2,3?. 根据对立事件的概率公式P(B)?1?P(B),得P(B)?
4C41 P(X?0)?4?C735
13C3C412P(X?1)?? 435C7
2C32C418 P(X?2)??435C7
6
31C3C44 P(X?3)??435C7
随机变量X
1?1??2??3???. 从而E(X)?0?35353535357
n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1
2414424???. 49749
1224答:随机变量X的数学期望为,方差为 …………10分 749
11C3Cn3n6n6???⑵证法一:P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n
63?记f(n)?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5,P?. …………14分 n5
证法二:反证法. 36n3?,即n2?5n?6?0,解得2?n?3 ,即25n?5n?65
33*因为n?N,所以不存在正整数n,满足P?.因此,P?. …………14分 55假设P?
18.⑴命题p:不等式x?
2a?2在?2,???上恒成立, x即a??x?2x在?2,???上恒成立,
即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立, 2
即a?0. …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2
即a?2.
若p和q都是真命题,则0?a?2.
所以,实数a的取值范围是?0,2?. …………4分
a在x??2,???上的值域记作集合M, x
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N,
由题意可得,M?N. ⑵f(x)?x?
7
(ⅰ)当a?0时,满足M?N, …………5分 (ⅱ)当a?0或0?a?2时,x??2,???f?(x)?0, a在x??2,???上单调递增, x
?a?集合M???2,???, ?2?
g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减,在?a,2?上单调递增, 则f(x)?x?
集合N??a2?2,??, ??
a1?2,即a?0或a?? 22
1又a?0或0?a?2,所以a??或0?a?2. …………8分 2
(ⅲ)当2?a?4时,x??2,???时f?(x)?0, a?a?则f(x)?x?在x??2,???上单调递增,集合M???2,???, x?2?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减,集合N??6?4a,???, 因为M?N,所以?a?2?2
4??2?a?a因为M?N,所以?即2?a?4. …………12分 6?4a??2?2?
(ⅳ)当a
?4时,x??时f
?(x)?0,x???时f?(x)?0 ??
则f
(x)的单调减区间是?,单调增区间是??,集合M????, ?
?
g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减,集合N??6?4a,???, ??
因为M?N,所以?
综上,a??a?4?即a?4. ?6?4a?2a1或a?0. …………16分 2
19.解:⑴从A1中取一个元素,有1种取法;从A2中取一个元素,有2种取法,依次类推,不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)
1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53
用数学归纳法证明如下:
①当n?1时,左边?f(1)?24,右边?1534?3?3??3?24 55
8
左边?右边,所以当n?1时命题成立; …………9分 ②假设当n?k时命题成立,即
14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2), 55
则当n?k?1时,f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)
14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55
1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5
1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555
1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5
从而当n?k?1时,命题也成立. f(1)?f(2)?
综上可知,原命题成立. …………16分
323220.解:(a1x?d)5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2,含x的项为23
10a12d3d??2,得d?2a1,又a1?2d?5, Cadx?10adx,所以3210a1da12351233123
解得a1?1,d?2,所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3,(a1x?a2)6?(x?3)6,
则(x?3)的展开式中二项式系数的项为T4?C6x(?3)??540x;…………6分 ⑵a1?1,a3?5,则[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n
01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?
01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n
n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333
?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?
∴b1?b3?b5?
∴a1b1?a2b2?
12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0,b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7Cn?11Cn?
0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 则S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?
9
nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?
012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1
n?Cn)?2
∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1
2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)
∵n?2
∴2n?4
∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22
5?42n?C2
52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4
2?11?16n?8n4
10 16分 …………