小学奥数中的数论问题:小学奥数数论问题：奇数与偶数

1、下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数?
□+□=□　 □-□=□　　□×□=□　□÷□=□
2、任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?
3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
试问：这串数的前100个数(包括第100个数)中，有多少个偶数?
4、能不能将1010写成10个连续自然数之和?如果能，把它写出来;如果不能，说明理由。
5、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的数都等于组内其余各数的和?
6、在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。现知，其中有一位学生共得7 分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
7、在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b(其中a≥b)。问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数?
8、设a1，a2，…，a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;……
这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数?
1、至少有6个偶数。
2、奇数。解：1234÷2=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。
3、33。提示：这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。
4、不能。
如果1010能表示成10个连续自然数之和，那么中间2个数的和应当是1010÷5=202。但中间2个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于偶数202。所以，1010不能写成10个连续自然数之和。
5、不能。提示：仿例3。
6、证：设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得 20分的学生胜了x2局，败了y2局。由得分情况知：
x1-y1=7，x2-y2=20。
如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面，由x1- y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。
7、奇数。解：黑板上所有数的和S=1+2+…+909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-(a-b)=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。
8、偶数。
解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数。
a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，
分别与下列32个数。
a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;
第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;
……
最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数，故最后一个整数是偶数。

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