苏科版初三上册数学知识点:苏科版初三上册数学期末试卷及答案

副标题:苏科版初三上册数学期末试卷及答案

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一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列事件是必然事件的为(  )
A.明天太阳从西方升起
B.掷一枚硬币,正面朝上
C.打开电视机,正在播放“夏津新闻”
D.任意一个三角形,它的内角和等于180
 
2.一元二次方程x2﹣2x=0的根是(  )
A.x1=0,x2=﹣2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2
 
3.二次函数y= (x﹣1)2+2的图象可由y= x2的图象(  )
A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到
 
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4
 
5.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是(  )

A.∠C= ∠BOD B.AC=AB C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD
 
6.如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有(  )

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
 
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是(  )

A.a<0 B.a+b+c<0 C.b2﹣4ac>0 D.b>0
 
8.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,则端点C和D的坐标分别为(  )

A.(2,2),(3,2) B.(2,4),(3,1) C.(2,2),(3,1) D.(3,1),(2,2)
 
9.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(  )
A. B. C. D.
 
10.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则DE的长为(  )

A.2.2 B.2.5 C.2 D.1.8
 
11.若函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为(  )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2
 
12.如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016,到BC的距离记为h2016.若h1=1,则h2016的值为(  )

A. B.1﹣ C. D.2﹣
 
 
二、填空题(每小题4分,共20分)
13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是      .
 
14.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是      .
 
15.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的 ,则AB:DE=      .

 
16.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30°,OF=3,则BC=      .

 
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜边AB=2,O是AB的中点,以O为圆心,线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF,弧EF经过点C,则图中阴影部分的面积为      .

 
 
三、解答题(共64分)
18.阅读材料:如果是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣ ,x1x2= ,这就是的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题:
已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根
(1)填空:m+n=      ,m•n=      ;
(2)计算 与m2+n2的值.
 
19.为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
 
20.据某市车管部门统计,2013年底全市汽车拥有量为150万辆,而截至到2015年底,全市的汽车拥有量已达216万辆,假定汽车拥有量年平均增长率保持不变.
(1)求年平均增长率;
(2)如果不加控制,该市2017年底汽车拥有量将达多少万辆?
 
21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.

 
22.某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角).
(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润?利润为多少?
 
23.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC•CD=CP•BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.

 
24.如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.
(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)判断△BCM的形状,并说明理由;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

 
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列事件是必然事件的为(  )
A.明天太阳从西方升起
B.掷一枚硬币,正面朝上
C.打开电视机,正在播放“夏津新闻”
D.任意一个三角形,它的内角和等于180
【考点】随机事件.
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
【解答】解:A、明天太阳从西方升起是不可能事件,故A错误;
B、掷一枚硬币,正面朝上是随机事件,故B错误;
C、打开电视机,正在播放“夏津新闻”是随机事件,故C错误;
D、任意一个三角形,它的内角和等于180是必然事件,故D正确;
故选:D.
【点评】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
2.一元二次方程x2﹣2x=0的根是(  )
A.x1=0,x2=﹣2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=0,x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:x2﹣2x=0,
x(x﹣2)=0,
x=0,x﹣2=0,
x1=0,x2=2,
故选D.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程,难度适中.
 
3.二次函数y= (x﹣1)2+2的图象可由y= x2的图象(  )
A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律.
【解答】解:y= x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到二次函数y= (x﹣1)2+2的图象.
故选D.
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.
 
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ,代入计算即可解答.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ ,
即 ,
解得:EC=2,
故选:B.
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.
 
5.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是(  )

A.∠C= ∠BOD B.AC=AB C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD
【考点】垂径定理.
【分析】根据垂径定理,可得BE与AE的关系,根据全等三角形的判定与性质,可得∠AOD=∠BOD,根据圆周角定理,可得∠C= ∠AOD,再根据等量代换,可得答案.
【解答】解:连接AO,如图:

由垂径定理,得
AE=BE.
在△AEO和△BEO中,

∴△AEO≌△BEO(SAS),
∴∠AOD=∠BOD.
由圆周角定理,得
∠C= ∠AOD.
由等量代换,得
∠C= ∠BOD,故A正确.
故选:A.
【点评】本题考查了垂径定理,利用垂径定理得出BE与AE的关系是解题关键,又利用了全等三角形的判定与性质,圆周角定理.
 
6.如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有(  )

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
【考点】相似三角形的判定;平行四边形的性质.
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CPB,
∴△EDC∽△CBP,
故有3对相似三角形.
故选:D.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.
 
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是(  )

A.a<0 B.a+b+c<0 C.b2﹣4ac>0 D.b>0
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【解答】解:A、抛物线开口方向向下,则a<0,故本选项错误;
B、∵当x=1时,y>0,
∴a+b+c>0,故本选项正确;
C、抛物线与x轴有2个交点,则b2﹣4ac>0,故本选项错误;
D、对称轴在y轴的右侧,则a、b异号,即b>0,故本选项错误.
故选:B.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
 
8.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,则端点C和D的坐标分别为(  )

A.(2,2),(3,2) B.(2,4),(3,1) C.(2,2),(3,1) D.(3,1),(2,2)
【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【专题】压轴题.
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 得出即可.
【解答】解:∵线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),
以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,
∴端点的坐标为:(2,2),(3,1).
故选:C.
【点评】此题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的性质是解题关键.
 
9.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率是(  )
A. B. C. D.
【考点】概率公式;中心对称图形.
【专题】计算题.
【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率.
【解答】解:这五种图形中,平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形,
所以这五种图形中随机抽取一种图形,则抽到的图形属于中心对称图形的概率= .
故选C.
【点评】本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.也考查了中心对称图形.
 
10.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则DE的长为(  )

A.2.2 B.2.5 C.2 D.1.8
【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.
【分析】连接BD、CD,由勾股定理先求出BD的长,再利用△ABD∽△BED,得出 = ,可解得DE的长.
【解答】解:如图1,连接BD、CD,

∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD= = = ,
∵弦AD平分∠BAC,
∴CD=BD= ,
∴∠CBD=∠DAB,
在△ABD和△BED中,

∴△ABD∽△BED,
∴ ,即 ,
解得DE= .
故选A.
【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理,解答此题的关键是得出△ABD∽△BED.
 
11.若函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为(  )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点.
【专题】分类讨论.
【分析】分为两种情况:函数是二次函数,函数是一次函数,求出即可.
【解答】解:分为两种情况:
①当函数是二次函数时,
∵函数y=mx2+(m+2)x+ m+1的图象与x轴只有一个交点,
∴△=(m+2)2﹣4m( m+1)=0且m≠0,
解得:m=±2,
②当函数是一次函数时,m=0,
此时函数解析式是y=2x+1,和x轴只有一个交点,
故选:D.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,根的判别式的应用,用了分类讨论思想,题目比较好,但是也比较容易出错.
 
12.如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016,到BC的距离记为h2016.若h1=1,则h2016的值为(  )

A. B.1﹣ C. D.2﹣
【考点】翻折变换(折叠问题).
【专题】规律型.
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB,从而可得∠ADA'=2∠B,结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE∥BC,得出DE是△ABC的中位线,证得AA1⊥BC,得到AA1=2,求出h1=2﹣1=1,同理h2=2﹣ ,h3=2﹣ × =2﹣ ,于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣ ,求得结果h2016=2﹣ .
【解答】解:连接AA1.

由折叠的性质可得:AA1⊥DE,DA=DA1,
又∵D是AB中点,
∴DA=DB,
∴DB=DA1,
∴∠BA1D=∠B,
∴∠ADA1=2∠B,
又∵∠ADA1=2∠ADE,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
∴AA1⊥BC,
∴AA1=2,
∴h1=2﹣1=1,
同理,h2=2﹣ ,h3=2﹣ × =2﹣

∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣ .
∴h2016=2﹣ .
故选:D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形中位线的性质,平行线等分线段定理,找出规律是解题的关键.
 
二、填空题(每小题4分,共20分)
13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是 x1=﹣2,x2=4 .
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移项,再提取公因式,求出x的值即可.
【解答】解:原式可化为(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0,
提取公因式得,(x+2)(x﹣4)=0,
故x+2=0或x﹣4=0,解得x1=﹣2,x2=4.
故答案为:x1=﹣2,x2=4.
【点评】本题考查的是解一元二次方程,熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键.
 
14.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考点】二次函数的最值.
【分析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答.
【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2x+3可化为y=(x﹣1)2+2的形式,
∴二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【点评】本题由于函数的二次项系数较小,所以可把函数解析式化为顶点式即y=a(x+h)2+k的形式解答.
 
15.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的 ,则AB:DE= 2:3 .

【考点】位似变换.
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF,点O是位似中心,根据位似图形的性质,即可得AB∥DE,即可求得△ABC的面积:△DEF面积= ,得到AB:DE═2:3.
【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,
∴△ABC∽△DEF,
∴△ABC的面积:△DEF面积=( )2= ,
∴AB:DE=2:3,
故答案为:2:3.
【点评】此题考查了位似图形的性质.注意掌握位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方.
 
16.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30°,OF=3,则BC= 6 .

【考点】三角形中位线定理;垂径定理;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
【分析】根据垂径定理和30°的角易得圆的半径为2OF,即可求得直径;易得∠C为90°,那么BC等于直径AB的一半.
【解答】解:∵OD⊥AC,垂足为F
∴△AFO是直角三角形,∠A=30°
∴OA=2OF=2×3=6
∴AB=2×6=12
又∵AB是圆的直径,∠ACB为圆周角
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中,A=30°
∴BC= AB= ×12=6.
【点评】本题涉及面较广,涉及垂径定理以及特殊角的三角函数.
 
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜边AB=2,O是AB的中点,以O为圆心,线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF,弧EF经过点C,则图中阴影部分的面积为  ﹣  .

【考点】扇形面积的计算.
【分析】连接OC,作OM⊥BC,ON⊥AC,证明△OMG≌△ONH,则S四边形OGCH=S四边形OMCN,求得扇形FOE的面积,则阴影部分的面积即可求得.
【解答】解:连接OC,作OM⊥BC,ON⊥AC.
∵CA=CB,∠ACB=90°,点O为AB的中点,
∴OC= AB=1,四边形OMCN是正方形,OM= .
则扇形FOE的面积是: = .
∵OA=OB,∠AOB=90°,点D为AB的中点,
∴OC平分∠BCA,
又∵OM⊥BC,ON⊥AC,
∴OM=ON,
∵∠GOH=∠MON=90°,
∴∠GOM=∠HON,
则在△OMG和△ONH中,

∴△OMG≌△ONH(AAS),
∴S四边形OGCH=S四边形OMCN=( )2= .
则阴影部分的面积是: ﹣ .
故答案为: ﹣ .

【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明△OMG≌△ONH,得到S四边形OGCH=S四边形OMCN是解题的关键.
 
三、解答题(共64分)
18.阅读材料:如果是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣ ,x1x2= ,这就是的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题:
已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根
(1)填空:m+n= 3 ,m•n=   ;
(2)计算 与m2+n2的值.
【考点】根与系数的关系.
【专题】计算题.
【分析】(1)直接根据根与系数的关系求解;
(2)先利用代数式变形得到) = ,m2+n2=(m+n)2﹣2mn,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:(1)m+n=﹣ =3,mn= ;
故答案为3, ;
(2) = = =2;
m2+n2=(m+n)2﹣2mn=32﹣2× =6.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .
 
19.为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)画出树状图,
(2)根据(1)的树形图,利用概率公式列式进行计算即可得解;
(3)分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率,比较大小即可.
【解答】解:(1)根据题意画出树状图如下:

由树形图可知三次传球有8种等可能结果;
(2)由(1)可知三次传球后,球回到甲脚下的概率= ;
(3)由(1)可知球回到甲脚下的概率= ,传到乙脚下的概率= ,
所以球回到乙脚下的概率大.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
 
20.据某市车管部门统计,2013年底全市汽车拥有量为150万辆,而截至到2015年底,全市的汽车拥有量已达216万辆,假定汽车拥有量年平均增长率保持不变.
(1)求年平均增长率;
(2)如果不加控制,该市2017年底汽车拥有量将达多少万辆?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)假设出平均增长率为x,可以得出2013年该市汽车拥有量为150(1+x),2015年为150(1+x)(1+x)=216,即150(1+x)2=216,进而求出具体的值;
(2)结合上面的数据2017应该在2015年的基础上增长,而且增长率相同,同理,即为216(1+20%)2.
【解答】解:设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据题意,得150(1+x)2=216.
解得:x=0.2或x=﹣2.2(不合题意,舍去).
∴年平均增长率为20%.
(2)216(1+20%)2=311.04(万辆).
答:如果不加控制,该市2017年底汽车拥有量将达311.04万辆.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,以及增长率问题,正确表示出每一年的拥有汽车辆数,是解决问题的关键.
 
21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.

【考点】切线的性质;扇形面积的计算.
【分析】(1)连接OD,易得∠ABC=∠ODB,由AB=AC,易得∠ABC=∠ACB,等量代换得∠ODB=∠ACB,利用平行线的判定得OD∥AC,由切线的性质得DF⊥OD,得出结论;
(2)连接OE,利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°,易得∠BAC=45°,得出∠AOE=90°,利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥OD,
∴DF⊥AC.
(2)解:连接OE,
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∴∠AOE=90°,
∵⊙O的半径为4,
∴S扇形AOE=4π,S△AOE=8 ,
∴S阴影=4π﹣8.

【点评】本题主要考查了切线的性质,扇形的面积与三角形的面积公式,圆周角定理等,作出适当的辅助线,利用切线性质和圆周角定理,数形结合是解答此题的关键.
 
22.某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角).
(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润?利润为多少?
【考点】二次函数的应用.
【专题】压轴题.
【分析】(1)设每个面包的利润为(x﹣5)角.
(2)依题意可知y与x的函数关系式.
(3)把函数关系式用配方法可解出x=10时y有值.
【解答】解:(1)每个面包的利润为(x﹣5)角
卖出的面包个数为[160﹣(x﹣7)×20])
(2)y=(x﹣5)=﹣20x2+400x﹣1500
即y=﹣20x2+400x﹣1500
(3)y=﹣20x2+400x﹣1500=﹣20(x﹣10)2+500
∴当x=10时,y的值为500.
∴当每个面包单价定为10角时,该零售店每天获得的利润,利润为500角.
【点评】求二次函数的(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法.本题难度一般.
 
23.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC•CD=CP•BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.

【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)易证∠APD=∠B=∠C,从而可证到△ABP∽△PCD,即可得到 = ,即AB•CD=CP•BP,由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP;
(2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP,即可得到∠BAP=∠C,从而可证到△BAP∽△BCA,然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长.
【解答】解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD,
∴ = ,
∴AB•CD=CP•BP.
∵AB=AC,
∴AC•CD=CP•BP;
(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B,
∴△BAP∽△BCA,
∴ = .
∵AB=10,BC=12,
∴ = ,
∴BP= .
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识,把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第(1)小题的关键,证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第(2)小题的关键.
 
24.如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.
(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)判断△BCM的形状,并说明理由;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)已知抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式;
(2)根据B、C、M的坐标,可求得△BCM三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可;
(3)假设存在符合条件的P点;首先连接AC,根据A、C的坐标及(2)题所得△BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似,那么分别过A、C作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得OP的长,也就得到了点P的坐标.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴ ,
解得: ,
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)△BCM为直角三角形,理由为:
对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,即顶点M坐标为(1,﹣4),
令x=0,得到y=﹣3,即C(0,﹣3),
根据勾股定理得:BC=3 ,BM=2 ,CM= ,
∵BM2=BC2+CM2,
∴△BCM为直角三角形;
(3)若∠APC=90°,即P点和O点重合,如图1,

连接AC,
∵∠AOC=∠MCB=90°,且 = ,
∴Rt△AOC∽Rt△MCB,
∴此时P点坐标为(0,0).
若P点在y轴上,则∠PAC=90°,如图2,过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,

∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴ = ,
即 = ,
∴点P1(0, ).
若P点在x轴上,则∠PCA=90°,如图3,过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,

∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴ = ,
即 = ,AP2=10,
∴点P2(9,0).
∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0, ),P2(9,0).
【点评】本题是二次函数的综合题,涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识,(3)题中能够发现点O是符合要求的P点,是解决此题的突破口.
 

苏科版初三上册数学期末试卷及答案.doc

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