匠心文档，专属精品。 第4课时 余弦定理（1） 知识网络 三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求 1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性； 3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 【例2】A,B两地之间隔着一个水塘，现选，测得CCA182m,CB126m, 求A,B两地之间的距离（精ACB630，确到1m）． 择另一点【解】由余弦定理，得 听课随笔 【课堂互动】 自学评价 1．余弦定理： (1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC. 222(2) 变形：cosAbca，2bcAB2CA2CB22ACCBcosC 28178.18 所以，AB168(m) 答 A,B两地之间的距离约为168m． 【例3】用余弦定理证明：在ABC中，当当C为钝角时，C为锐角时，a2b2c2；a2b2c2． 【证】当C为锐角时，cosC0，由余弦定理，得a2c2b2，cosB2aca2b2c2 cosC2ab2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知三边，求三个角； （２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． c2a2b22abcosCa2b2， 222即 abc． 同理可证，当C为钝角时，abc 点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 222【精典范例】 【例1】在ABC中， 0（1）已知b3，c1，A60，求a； （2）已知a4，b5，c6，求A（精0确到0.1）． 【解】（1）由余弦定理，得， 所以 a7． （2）由余弦定理，得追踪训练一 １．在△ＡＢＣ中， （１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７， 求a； （２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ． 略解：（1）a37 略解：（2）A 1 a2b2c22bccosA3212231cos60072 3b2c2a2526242cosA0.752bc256， 所以，A41.4． 匠心办公文档系列 0 匠心文档，专属精品。 ２．若三条线段的长为５，６，７，则用这AB2b2a22abcos1200三条线段（ Ｂ ） 听课随笔 Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形 Ｄ．不能组成三角形 ３．在△ＡＢＣ中，已知a2b2abc2，试求∠Ｃ的大小． 略解：C23 ４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？ 略解：两艇相距4.71km 【选修延伸】 【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x223x20的两根，2cosAB1。 （1） 求角C的度数； （2） 求AB的长； （3）求△ABC的面积。 解：(1) cosCcos[AB] cosAB12C1200 （2）因为a，b是方程x223x20的两根，所以ab23ab2 匠心办公文档系列 ab2ab10AB10 （3）S13ABC2absinC2 【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，证明： a2b2c2sinABsinC。 证明：由余弦定理知： a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB 则a2b2 b2a22bccosA2accosB， 整理得: a2b2acosBbcosc2Ac， 又由正弦定理得: asinAcsinC， bcsinBsinC， a2b2sinAcosBcosAsinBc2sinCsinABsinC 追踪训练二 1．在△ABC中，已知b2，c1，B=450，则a （ B ） A 2 B 622 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/01e44a00ba4ae45c3b3567ec102de2bd9705de32.html