第5课时 余弦定理（2） 【学习导航】 知识网络 余弦定理航运问题中的应用判断三角形的形状 学习要求 1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题； 2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 3．初步利用定理判断三角形的形状。 【课堂互动】 自学评价 1．余弦定理： (1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC. (2) 变形：2cosAbc2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab 2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知三边，求三个角； （２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 【精典范例】 【例1】在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸B码头，设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东150，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方听课随笔 向航行？速度是多少（角度精确到0.10，速度精确到0.1km/h）？ 【解】如图，船按AD方向开出，AC方向为水流方向，以AC为一边、AB为对角线作平行四边形ABCD，其中AB1.2(km),AC50.10.5(km)． 在ABC中，由余弦定理，得 BC21.220.5221.20.5cos(900150)所以 ADBC1.17(km)． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(km/h)． 在ABC中，由正弦定理，得 0sinABCACsinBAC0.5sin75BC1.170.4128所以 ABC24.40 所以 DANDABNABABC1509.40 答：渡船应按北偏西9.40的方向，并以11.7km/h的速度航行． 【例2】在ABC中，已知sinA2sinBcosC，试判断该三角形的形状． 【解】由正弦定理及余弦定理，得sinAaa2sinBb,cosCb2c22ab， 2所以 a22b2ab2ab，c整理得 b2c2 因为b0,c0，所以bc．因此，ABC为等腰三角形． 【例3】如图，AM是ABC中BC边上的中线，求证：AM122(AB2AC2)BC2． 【证明】 设AMB，则AMC1800．在ABM中，由余弦定理，得 且sinAsinB【解】由AB2AM2BM22AMBMcos． 3，请判断三角形的形状。 听课随笔 4a3b3c3在ACM中，由余弦定理，得c2,abc2220ACAMMC2AMMCcos(180)因为 cos(1800)cos,BMMC12BC， 所以AB2AC22AM212BC2， 因此， AM12(AB22AC2)BC2． 追踪训练一 1. 在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ Ｄ ）． Ａ．23 Ｂ．23 Ｃ．113 Ｄ．4 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）． 略解：cos0.5972 126.70 3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形． 【选修延伸】 例4】在△ABC中，设a3b3c3【abcc2，a3b3c3(ab)c2c3即(ab)(a2abb2c2)0,而ab0，得a2abb2c20,c2a2b2ab, cosCa2b2c212,C6002ab 而由sinAsinB34得12[cos(AB)cos(AB)]34 12[cosCcos(AB)]34,cos(AB)1而AB,AB0,AB， ∴三角形为等边三角形。 追踪训练二 1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则abcsinAsinBsinC等于( B ) A．33 B．239833 C．3 D．392 2．在△ＡＢＣ中，设CBa，ACb，且｜a｜＝２，｜b｜＝3，a·b＝－3，求ＡＢ的长． 略解：AB2723 AB1.88 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e8acab79f31dc281e53a580216fc700abb6852cc.html