考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷30 (题后含答案及解析) 题型有：1. 1． 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)-∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤an≤f(1)． 正确答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}单调减少．因为an=∫kk+1[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1)且f(x)=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[-1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以an存在.由an=f(1)+[f(2)-∫12f(x)dx]+…+[f(n)-∫n-1n(x)dx]，而f(k)-∫k-1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤an≤f(1)． 涉及知识点：高等数学 2． 设A=，求与A乘积可交换的所有矩阵． 正确答案：与A乘积可交换的矩阵一定是2阶矩阵．AX=XA即：ax1+x3=ax1+x2．ax2+x4=x1．x1=ax3+x4．x2=x3，整理得x1，x2，x3，x4的齐次线性方程组解得通解为 c1(a，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则与A乘积可交换的矩阵的一般形式为c1A+C2E，c1，c2任意． 涉及知识点：矩阵 3． 讨论函数f(χ)＝，在χ＝0处的连续性与可导性． 正确答案： 因此f′+(0)＝f′-(0)＝0．因此f(χ)在χ＝0可导，因而也必连续． 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算 4． 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0． 正确答案：(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0． (2)设F(x)=f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F’(η)=．η．f(η)=0，即ηf(η)+f’(η)=0． 涉及知识点：一元函数微分学 5． 设A，B为三阶矩阵，满足AB+E=A2+B，E为三阶单位矩阵，又知求矩阵 B． 正确答案：由AB+E=A2+B得(A—E)B=A2一E． 涉及知识点：线 性代数 6． ∫χtanχsec4χdχ 正确答案：∫χtanχsec4χdχ＝∫χsec3χd(secχ) 涉及知识点：不定积分 7． 设f(x)连续且关于x=T对称，a＜T＜b．证明： 正确答案：由f(x)关于x=T对称得f(T+x)=f(T-x)， 涉及知识点：一元函数积分学 8． 求解下列方程： (Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解； (Ⅱ)求yy〞＝2(y′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解． 正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp． 当p≠1时，可改写为，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝． 这样，原方程的通解即为y＝＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数． 当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3． (Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，，原方程可化为yp＝2(p2－p)． 当p≠0时，可改写为y＝2(p－1)或，解为p－1＝C1y2． 再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′＝1＋y2其通解为y＝tan(χ＋C2)． 再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋)． 涉及知识点：常微分方程 9． 设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足(Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)． 正确答案：(Ⅰ)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得这里仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而又将②，③，④代入原方程①得即原方程①变成(Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=z(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)．由⑤式=0，对v积分得=f(u)，其中f(u)为任意的有连续导数的函数．再对u积分得 z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)． 涉及知识点：多元函数微分学 10． 设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关． 正确答案：由Aα1=α1得(A-E)α1=0；由Aα2=α1+α2得(A-E)α2=α1；由Aα3=α2+α3得(A-E)α3=α2，令 k1α1+k2α2+k3α3=0， (1)(1)两边左乘A-E得k2α1+k3α2=0， (2)(2)两边左乘A-E得k3α1=0，因为α1≠0，所以k3=0，代入(2)、(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3线性无关． 涉及知识点：向量 11． 设y=，求y’． 正确答案：当｜x｜＜1时，当x＞1时，y’=1；当x＜-11时，y’=-1；由得y在x=-1处不连续，故y’(-1)不存在；因为y’-(1)≠y’+(1)，所以y在x=1处不可导，故y’= 涉及知识点：一元函数微分学 12． 设u＝u(χ，y，z)连续可偏导，令 (1)若＝0，证明：u仅为θ与φ的函数． (2)若，证明：u仅为r的函数． 正确答案：(1)因为＝0 所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数． 从而＝t(r2cos2θcosφsinφ)＋t(r2sin2θcosφsinφ)＋t(－r2sinφcosφ)＝0， 故u仅是r的函数，即u不含θ与φ． 涉及知识点：多元函数微分学 13． 求微分方程的通解． 正确答案：通解为y＝ 涉及知识点：常微分方程 设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为且已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为α1=(2，-1，a+2，1)T，α=(-1，2，4，a+8)T． 14． 求方程组(Ⅰ)的一个基础解系； 正确答案：A=方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ1= 15． 当a为何值时，方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)有非零公共解? 正确答案：(Ⅱ)的通解为因为两个方程组有公共的非零解，所以l1，l2不全为零，从而，解得a=-1或a=0． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/103ecfa8a617866fb84ae45c3b3567ec102ddca0.html