梅涅劳斯定理 简介 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一： 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二： 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理 证明三： 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1） 记忆 ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 实际应用 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明： 方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。 按照这个方案，可以写出关系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 从A点出发的旅游方案还有： 方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有： 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/18f6ff09844769eae009ed2e.html