梅涅劳斯定理 【定理内容】 如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点, 那么AFBDCE1. FBDCEAE[评]等价叙述:ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上有三点F、AFD、E,则F、D、E三点共线的充要条件是AFABDFCE1。三FBDCEA点所在直线称为三角形的梅氏线。 E【背景简介】 BCDBCD梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 【证法欣赏】 证法1:(平行线分线段成比例) 证:如图,过A作AG//BC交CF延长线于G, GAFEBDBD又 CDCDEAFCEBDAGCDBD则1 FBEACDBDAGCDAFG证法2:(正弦定理) BCDBCD证:如图,令AEF,AFE,BDE, AAFAEF在AEF中,由正弦定理知:sinsinEE, AF同理BBFBDBDsinsin(180)sinCD,CDCE sinsinDC∴AFBDCEAFBDCEB1,即1. AEBFCDFBDCEA第 0 页 【逆定理】 梅涅劳斯定理的逆定理也成立,即 如果有三点F、D、E分别在ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AFBDCE1,那么F、D、E三点共线。 FBDCEA[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线 【定理应用】 梅涅劳斯定理的应用定理1: 若ABC的A的外角平分线交边BC延长线于P,B的平分线交边AC于Q,C的平分线交边AB于R,则P、Q、R三点共线。 证:由三角形内、外角平分线定理知, 则ARBPCQCABABC1, RBPCQACBCAABBARQFCP 故P、Q、R三点共线。 【定理应用】 梅涅劳斯定理的应用定理2: 过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别与 BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线。证:∵CR是⊙O的切线, RARARCAC2(), 则RBRCRBCBRAO同理:CQBC2BPAB2() (),QABACPACBCP第 1 页 Q 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/b1f7fd1701020740be1e650e52ea551810a6c9bd.html