. 塞瓦定理 设O是△ABC任意一点， AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 〔Ⅰ〕此题可利用梅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 〔Ⅱ〕也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理： 设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:BPCQAR1PCQARB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPSABPSBMPSABMCQSBCMARSACM同理：,PCSACPSCMPSACMQASABMRBSBCMA R M Q A C BPCQAR以上三式相乘，得：＝1PCQARBBPCQARP ‘C1B 再证充分性：若1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PCQARBBPCQAR拻ARAR由塞瓦定理有：‘1，于是：‘＝因为R和R’都在线PCQARBRBRB段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M；例1：证明：三角形的中线交于一点； ACBACB证明：记ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明1111C1BACB1A1B B1C A1而显然有：AC1C1B,BA1AC1,CB1B1A即AC1BA1CB11成立，ABC交于一点；C1BACBA11A A C1B1C1B1C . C > B A1B A1. 证：作CKAB下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，AMCNBK依塞瓦定理即要证：1又MCCNC MCNBAKAMBKAMAL即要证明：1AMLAKCN AKNBAKACBKBCALBCBNLBKC即要证1M NBBLACBLALBCB 依三角形的角平分线定理可知：1A K L ACBLCK、BM、AN三线共点，且为P点CPAB例3.设AD是ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则EDA＝FDA证：过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证EDAFDA， 课外作业： 课后练习答案： 三条高、 一、选择题 1、如图：设一直线与△ABC的边AB、AC及BC延长线分别交于*、Y、Z，则A * Y Z AXBZAY的关系为 〔 〕 •与XBZCCYAXBZAYAXBZAYAXBZAYA、 B 、 C、 D、•••XBZCCYXBZCCYXBZCCY不能确定 2、如图：设*、Y、Z分别是△ABC的边BC、AC、AB上的点，A*、BY、CZ相交于点O，B C 第1题 A Z O Y AZBXAY的关系为 〔 〕 •与ZBXCYCAZBXAYAZBXAYAZBXAYA、； B 、 ； C 、 ； D 、 •••ZBXCYCZBXCYCZBXCYC则B * C 第2题 不能确定 A 3、如图，在△ABC中，F点分AC成1：2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，则E分BC边所成的比F 为 〔 〕 1121A、 B、 C、 D、 4253G B E 第3题 C 4、如图，F、D、E分等边△ABC的三边AB、BC、CA均为1：2两局部，AD、BE、CF相交成△PQR的面积是A △ABC面积的 〔 〕 A、1111 B、 C、 D、 10987B F R E Q 第4题 C P D . > 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/bae43ca0b90d4a7302768e9951e79b8968026833.html