解函数方程的几种方法 李素真 摘要:本文通过给出求解函数方程的基本方法,来介绍函数方程,探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词:函数方程;换元法;待定系数法;解方程组法;参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程,能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解,求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法(或代换法)、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量),然后找出函数对中间变量的关系,从而求出函数的表达式。 例1 已知f(2x)xsinx,求f(x)。 (u0)解:令2xu ,则xlog2u,于是可得,f(u)(log2u)sin(log2u) 2(u0),以x代替u,得f(x)log2xsin(log2u) (x0)。 2例2 已知f(1x2x)ln (x0),求f(x)。 x12x11x1t1ln2, 解:令 (t1),于是f(t)lnt,则x1t1xt112t12即f(x)ln 2。 x1例3 已知f(1cosx)cos2x,求f(x)。 解:原式可以化为 f(1cosx)cos2x2cos2x1,令1cosxt,t[0,2],则换元后有f(t)2(x1)1 x[0,2]。 22.待定系数法 待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征,用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件,根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知f(x)为多项式函数,且f(x1)f(x1)2x22x4,求f(x)。 解:由于f(x1)与f(x1)不改变f(x)的次数,而它们的和是2次的,所以f(x)为二次函数,故可设f(x)ax2bxc,从而有 f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax2bx2(ac)由已知条件得 2ax22bx2(ac)2x22x4 根据两个多项式相等的条件得 2 2a2,2b2,2(ac)4,由此得a1,b1,c1,故有f(x)x2x1。 例5 已知f(x)是x的二次函数,且f[f(x)]x42x2,求f(x)。 解:因为c是x的二次函数,故可设f(x)ax2bxc,由此,f[f(x)]af2(x)bf(x)ca(ax2bxc)b(ax2bxc)c 将上式化简并代入2f[f(x)]x42x2,得3423222224ax2abx(ab2acab)x(2abcb)x(acbcc)x2x 比较对应项的系数有 a312a12ab0a222cab2 ,解之得b0 ,故f(x)x21。 ab2abcb20c12acbcc0 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换,得到新的函数方程,然后与原方程联立,解方程组,即可求出所求的函数。 例6 设f(x)是对x0及x1以外的一切实数有定义的实值函数,并且f(x)f(x1)1x,求f(x)。 x解:以x1x112x1)f()代换x, 得 f(。 xx1xx112x)f(x)代换x, 得 f(。 1x1x1x 以由 f(x)f(x112xx112x1)1x f()f(x))f() f( x1x1xx1xxx11x3x21),f() 得 f(x)消去f(,(x0,1)。 x1x2x(x1)例7 解函数方程3f(x)2f()4x 解:函数方程中的未知函数f(x)和f()不能用x的同一个解析式表达出,若把它们看作是方程中的两个未知元,就必须设法消去一个才能解出另一个。 为此,分别以t和1x1x11)2f() t和4代替方程中的x,相应地得到 3f(ttt1143f()2f(t)。 将该两式看作是关于未知元f(t)和f()的二元一次方程组,即可ttt812t2812x28求解。得5f(t)12t。于是f(t)。即f(x)为函数方程的解。 t5t5x例8 f(x)是定义在0,上的实值函数,且f()f(x)lgx1,求f(x)。 1111lgx,(x0)。 代替x,得f(x)f()(lgx)1 消去f(),得f(x)xxx1lgx1x解:以4.参数法 参数法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系,从而求出f(x)的表达式。 例9 已知f(1cosx)sin2x,求f(x)。 x1cots2ysint解:设所求函数yf(x)的参数表达式为 2costx12sinty。 ,所以 联立方程组消去参数t,得(x1)y1,所以y1(x1)2,x0,2。 即f(x)1(x1)2,x0,2。 例10 已知f(2cosx)5sin2x,求f(x)。 解:设所求函数yf(x)的参数表达式为: 2x2cotsy5si2nt2,所以 cost2xsin2t5y。 联立方程组消去参数t,得yx4x8,即f(x)x4x8,x1,3。 参考文献: 【1】高夯,现代数学与中学数学(第二版)[M],北京:北京师范大学出版社,2010. 【2】姚开成,函数方程的几种解法[J],新疆石油教育学院学报,2000. 【3】聂锡军,函数方程的解法及应用[J],丹东师专学报,1997. 【4】胡皓,函数方程的一些解法[J],西昌师范高等专科学校学报,2002. 【5】刘维江,函数方程的解法及应用[J],安顺师专学报,2001. 【6】徐凤林,几类函数方程的解法[J],山东轻工业学院学报,2007. 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/1d43c5115b0216fc700abb68a98271fe910eafbf.html