word 二十九 用向量方法讨论立体几何中的位置关系 (15分钟 30分) 1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A．a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0) B．a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1) C．a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1) D．a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0) 【解析】a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)， 所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b. 2．若直线l的方向向量为v＝(2，2，2)，向量m＝(1，－1，0)及n＝(0，1，－1)都与平面α平行，则( ) A．l⊥α B．l∥α C．l⊂α D．l与α相交但不垂直 【解析】v·m＝2－2＋0＝0，v·n＝0＋2－2＝0， 所以v⊥m，且v⊥n. 又m与n不平行， 所以v⊥α，即l⊥α. 3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3，6)，则点P(2，3，3)与平面α的关系是________. →→【解析】MP ＝(1，4，1)，MP ·n＝6－12＋6＝0， →所以MP ⊥n， 又n⊥平面α，M∈平面α，所以P∈平面α. 答案：P∈平面α →→→4．已知A(1，－1，3)，B(0，2，0)，C(－1，0，1)，若点D在Oz轴上，且AD ⊥BC ，则|AD |＝________. 【解析】设点D的坐标为(0，0，z)， →→则AD ＝(－1，1，z－3)，BC ＝(－1，－2，1). →→→→由AD ⊥BC ，有AD ·BC ＝1－2＋(z－3)＝0， →所以z＝4，所以|AD |＝3 . 答案：3 5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：- 1 - / 7 word 直线PB1⊥平面PAC. 【证明】以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz， 则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)， →→于是CA ＝(－1，1，0)，CP ＝(－1，0，1)，PB1＝(1，1，1)， →PB1＝(－1，1，0)·所以CA ·(1，1，1)＝0， →PB1＝(－1，0，1)·CP ·(1，1，1)＝0， →→故CP ⊥PB1，CA ⊥PB1，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC. 故直线PB1⊥平面PAC. (30分钟 60分) 一、单选题(每小题5分，共20分) 11，0， ，则1．直线l的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m＝(－1，1，3)，n＝93直线l与平面β的位置关系是( ) A．l∥β B．l⊥β C．l∥β或l⊂β D．无法判断 11【解析】m·n＝－ ＋0＋ ＝0， 33所以m⊥n. 所以l∥β或l⊂β. 2．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( ) A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【解析】μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)分别为α，β的法向量且α⊥β， - 2 - / 7 word 所以μ⊥v，即μ·v＝0，－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6. 23．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，31AF＝ AC，则( ) 3 1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 【解析】选B.建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1， 11→，0， ， 则DA1＝(1，0，1)，AC ＝(－1，1，0)，E3321111→，，0 ，EF ＝，，－ ， F33333→→→DA1＝0，EF所以EF · ·AC ＝0， 所以EF⊥A1D，EF⊥AC. →→→→→4．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z)，若AB ⊥BC ，BP ＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( ) 331540A． ，－ ，4 B． ，－2，4 777401540C． ，－ ，4 D．4， ，－15 777→→【解析】AB ⊥BC ， →→所以AB ·BC ＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， →→→→又BP⊥平面ABC，所以BP ⊥AB ，BP ⊥BC ， （x－1）＋5y＋6＝0，则 解得3（x－1）＋y－12＝0，15 y＝－7．40x＝，7二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) →5．在菱形ABCD中，若PA 是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( ) - 3 - / 7 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/1f0adce5f8d6195f312b3169a45177232e60e4a7.html