2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第一章 1.1 集合
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§1.1 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图． (4)常见数集的记法 集合 符号 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 集合A是集合B的子集，且集真子集 合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 设A⊆U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 概念方法微思考 1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示 2n,2n－1. 2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．( √ ) 题组二 教材改编 2．若集合A＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A C．{a}∈A 答案 D B．a⊆A D．a∉A 3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个． 答案 4 解析 因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个． 4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________. 答案 (－∞，0)∪[1，＋∞) 解析 因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 题组三 易错自纠 5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( ) A．∅⊆A C．{0,2}⊆A 答案 ACD 解析 易知A＝{0,2}，A，C，D均正确． 6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________. 答案 0或3 解析 因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3. 7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 答案 0或1或－1 解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. B．－2∈A D．A⊆{y|y<3} 集合的含义与表示 1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．6 D．9 答案 C 解析 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1； 当x＝2时，y＝0,1,2. 故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素． 32．已知集合A＝x∈Z2－x∈Z ，则集合A中的元素个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 因为3∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，2－x－1，故集合A中的元素个数为4. 3．给出下列四个命题： ①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}； ②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}； ③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集； ④设2 021∈{x，x2，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④ 解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x＝－2 021或x＝－2 021，满足条件的所有x组成的集合为{－2 021，－2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确． 思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性． 集合间的基本关系 n1，则两集合M，N的关系x＝＋1，n∈Zy＝m＋，m∈Z例1 (1)集合M＝x2，N＝y2 为( ) A．M∩N＝∅ C．M⊆N 答案 D 解析 由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数B．M＝N D．N⊆M 1时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋(k∈Z)，∴N⊆M，故选D. 2(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________． 答案 4 解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}． 又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个． (3)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 [2 020，＋∞) 解析 由x2－2 021x＋2 020<0，解得1<x<2 020， 故A＝{x|1<x<2 020}． 又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 020. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．AB C．A⊆B 答案 B 解析 由题意知A＝{x|y＝1－x2}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}． B．BA D．B＝A 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B. (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 50， 答案 (－∞，－2)∪2解析 A＝{x|－1≤x≤6}． ∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅. 当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意． m－1≤2m＋1，当B≠∅时，m－1≥－1，2m＋1≤6.5解得0≤m≤. 25得m<－2或0≤m≤. 2 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( ) A．(1,3) C．[－1,2) 答案 C 解析 因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2)． (2)(2020·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域B．(1,3] D．(－1,2) 表示的集合为( ) A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5} 答案 B 解析 由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知， ∁U(A∪B)＝{7}．故选B. 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．(0,3) C．(0,1) 答案 B 解析 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B. (2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( ) A．a<1 C．a>2 答案 D 解析 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}， 由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图． B．a≤1 D．a≥2 B．(0,1)∪(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 可知a≥2. 则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，1] 解析 ∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B⊆A结合数轴观察(如图)． (2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，本例 可得a≤1. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于( ) A．{1,6} C．{6,7} 答案 C 解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}， ∴∁UA＝{1,6,7}． 又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}． (2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．－1<a≤2 C．a≥－1 答案 D 解析 在数轴上画出集合A，B(如图)， B．a>2 D．a>－1 B．{1,7} D．{1,6,7} 观察可知a>－1. 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． －1，x∈M，例1 对于集合M，定义函数fM(x)＝对于两个集合A，B，定义集合A△B＝1，x∉M. {x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________． 答案 {1,6,10,12} 解析 要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}． 例2 (多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，a∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是( ) bA．数域必含有0,1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域 D．数域必为无限集 答案 AD a解析 当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确． b1当a＝1，b＝2时，∉Z不满足条件，故可知B不正确． 2当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确． 根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确． 例3 已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( ) A．15 B．16 C．20 D．21 答案 D 解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/237e603b5aeef8c75fbfc77da26925c52cc59114.html