初中数学竞赛辅导资料（50） 基本对称式 甲内容提要 1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式. 2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示. 例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －23x23y， yxxy……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示： x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， (2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －22（2xy3x3y=－)3xy, yxy2x2(xxy=y)22xyxy=xy. 3. 设x+y=m, xy=n. 则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n； x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn； x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2； x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ……… 一般地，xn+yn (n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式： xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1) (k 为正整数). 4. 含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式. 乙例题 例1. 已知x=12(3+1), y=12（3－1） 求下列代数式的值： ①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3). 解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=3, xy=12. ① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y) =(3)3－2×123 =23； ② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2 =3(x2+y2)+2xy(x+y) =3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y) =3［（3）2－212）2×123 ＝3－6. 例2. 解方程组x3y335①xy5② 分析：可由 x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y. 解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③ 把①和②代入③，得 35＝53－15xy. ∴xy=6. 解方程组xy5 xy6得x2x3y3 或y2. 例3. 化简 320142＋320142. 解：设320142＝x, 320142=y. 那么 x3+y3=40, xy=3400－1962=2. ∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， ∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）. 设x+y=u, 得 u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0. ∵u2+4u+10=0 没有实数根， 179 ∴u－4＝0, u＝4 . ∴x+y=4. 即 320142＋320142＝4. 例4. a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？ 解：设方程两根为x1, x2 . 根据韦达定理， 得 x1x2axa2 1x2∵x(x221x21x2)＝（x1x22)4x1x2＝a4a8 ＝(a2)24， ∴当a=2时，x1x2 有最小值是2. 丙练习50 1. 已知 x－y=a, xy=b. 则x2+y2=______ ； x3－y3=______. 2. 若x+y=1, x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______. 3. 如果 x+y=－2k, xy=4, xyyx3. 则 k=_____. 4. 已知x+1x=4, 那么x－1x=____ ， x21x2=＿＿＿. 5. 若x1x.＝a, 那么x+1x=______, x21x2=＿＿＿. 6. 已知：a=112－3, b=23. 求： ①7a2+11ab+7b2 ； ②a3+b3－a2－b2－3ab+1. 7. 已知x1x2x＝8，则1x＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题） 8. 已知 a2+a－1=0 则a3－1a3=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛） 10. 化简： ①32＋5＋32－5； ②352＋7－352－7. 11. 已知：α，β是方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根. α2（bβ+c）+β2(bα+c)=－2c2求证：a. 180 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2797b33a3086bceb19e8b8f67c1cfad6185fe96f.html