数学建模入门试题极其答案
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1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。 8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10厘米高的水（如右图），其下端小孔的 面积为0.5平方厘米，求这些水流完需要多少时间？ 9. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜10cm 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 1．解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿x周方向走，v>0,而设语雨速为（x,y,z）,行走距离为L，则淋雨量Q的表达式为： Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 记q=a|x|+b|z|,则 L(Q(v)= L( Q/L qxv1),v≤x qxv+1),v>x 在q≥x和q两种情形下作图
Q/L
q
q/x 1 0
q>x
1
q/x
v 0 x
x
v
2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t以周为单位）
X(0)=0
其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。 解该线性方程初始问题得X(t) =70[1-e
-t/1
t10
]
由于当t ∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。
3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f（t）, 即t时刻走的距离为f（t）;同样设从B点到A点的路程为函数g（t）。由题意有 f(8)=0,f(18)=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0；
令h（t）= f（t）--g（t），则有h(8)= f(8) -- g（8）=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0 又注意f（t），g（t）都是时刻t的连续函数，因此h（t）也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h（t。）=0，即f（t。）=g（t。） 所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。
4.解：设I为平面上任一封闭曲线，p为平面上一点（不妨设p在I内），则存在已过点p的直线，将I所围的面积二等 分，如下图
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