等比数列求和公式推导方法

时间：2023-05-07 15:03:16 阅读：最新文章文档下载

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等比数列求和公式推导方法

等比数列求和公式推导：

首先，定义一个等比数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，其中公比为q，即： $$a_1=p;

a_2=pa_1;a_3=pa_2;\cdots;a_n=pa_{n-1}$$

因此，等比数列的求和可以表示为：

$$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n = p+pa_1+pa_2+\cdots +pa_{n-1} $$

将上式进行拆解，得：

$$S_n=p(1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}$$ 再次将上式拆解，得：

$$S_n=p(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}$$ 结合泰勒展开式，有：

$$S_n=p[\frac{1-q^n}{1-q}]$$ 由此，得出等比数列求和公式： $$S_n=p[\frac{1-q^n}{1-q}]$$