动量中的“推箱”问题

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[情景1 甲、乙两人做推箱子游戏,甲站在一辆冰车上,冰车与水平面摩擦不计,甲与冰车的总质量为M50kg,地面上放有质量为m=5kg的箱子,乙固定站在车对面的地面上,甲将箱子以速率v4m/s(相对于地面)推向乙,箱子与水平面摩擦不计,乙接住后又以相等大小的速度推回给甲,甲接箱子后又以速率v(相对于地面)将箱子推给乙,然后乙接住后再次将箱子以相等大小的速度推给甲,这样箱子被推来推去。求甲推出多少次后,再不能接到乙推出的箱子?

分析:甲每推一次箱子,箱子就推一次甲,使甲和冰车共同速度增加,当甲和冰车共同的速度大小比箱子速度大小大或相等时,甲就不能接到箱子了。设最多能推n 次,则第n次推出后甲和冰车的速度应满足: v………………①

解答:设第n1次推出木球后甲和冰车的速度为,第n次推出木球后甲和冰车的速度

分析第n次甲推箱子的过程得: 整理后得:

可见甲推出箱子后的速度满足公差为的等差数列,可得:

n123 ……) …………②

分析第一次推: …………③ 联立方程②③得: n123 ……) 代入①式可得:n≥5.5

n6,即第6次推出后甲和冰车的速度已大于木球的速度,再接不到球

[情景2甲、乙两人做推箱子游戏,甲站在一辆冰车上,冰车与水平面摩擦不计,甲与冰车的总质量为M60kg,地面上放有质量为m=20kg的箱子,乙固定站在车对面的地面上,甲将箱子以速率v4m/s(相对于甲)推向乙,箱子与水平面摩擦不计,乙接住后又以速度u=5m/s推回给甲,甲接箱子后又以速率v(相对于甲)将箱子推给乙,然后乙接住后再次将箱子以速度u推给甲,这样箱子被推来推去。求甲推出多少次后,将再不能接到乙推出的箱子?

分析:甲每推一次箱子,箱子就推一次甲,使甲和冰车共同速度增加,当甲和冰车共同的速度大小比箱子速度大小大或相等时,甲就不能接到箱子了。

解答:设第n1次推出箱子后甲和冰车的速度为,第n次推出箱子后甲和冰车的速度

分析甲第n次接推箱子过程(规定甲运动方向为正方向): 代入数据,整理后得: 凑项得:

可见甲推出箱子后的速度减去9满足公差为的等比数列 根据数列关系得:(n234 ……)―――――① 分析第一次:―――――②

联立①②两式分析得:当n=4时,v4=5.625>u

即当甲第四次推出箱子后,将再也接不到箱子,甲只能3次接到乙推来的箱子。 [情景3 甲、乙两人做推箱子游戏,甲站在一辆冰车上,冰车与水平面摩擦不计,甲与冰车的总质量为M100kg 另有一质量为m=2kg的箱子,乙固定站在车对面的地面上,身旁有若干质量不等的的箱子。开始冰车静止,甲将箱子以速率v(相对于地)推向乙,乙接住箱子后马上将另一质量m1=2m的箱子以相同的速度v推回给甲,甲接箱子后又以速率

v(相对于地)将箱子推给乙,乙接住后马上将另一质量m2=2m1=4m的箱子以速率v推给甲,






这样往复推箱子,乙每次推给甲的箱子的质量都是接到甲推给他的箱子的质量的2倍,而推箱子速率始终为v不变,求从第1次算起,甲推出多少次后,将再不能接到乙推过来的箱子。

分析:甲每推一次箱子,箱子就推一次甲,使甲和冰车共同速度增加,当甲和冰车共同的速度大小比箱子速度大小大或相等时,甲就不能接到箱子了。设最多能推n 次,则第n次推出后甲和冰车的速度vn应满足: v………………①

解答甲每接推一次箱子过程中,箱子给甲和冰车的冲量为2mnv(规定甲的运动方向为正方向),即为甲和冰车受到的合力冲量,假设能推n次,则接推的次数为n-1次, 列整个过程的动量定方程:

整理后得:

可见总冲量为以2为等比的等比数列,根据数列关系得:(n=23、4……)

代入①式得:n应取6,即第6次推出后甲和冰车的速度大于v,再也接不到乙推过来的箱子。




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