数学竞赛试题

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广东岭南职业技术学院第七届

高等数学竞赛试题

学号：班级：姓名：

题号得分一、填空(2'5

1.函数y2.设

f(x)

一

10')

2

二

三

总分

时间 100分钟

16x

x1lnx

的定义域是

f(x)

的一个原函数是e2x，则

x

_________________________

3.曲线y

xe

在点（0，2）处的切线方程是

2

4.设函数y5.如果lim

xln(1x)，则dy_____________________sinkx2x

3

x0

，则k

_________________

二、综合计算题

6. 求极限lim

e

x

ex

x2

2

x0

.(4')

7.

x1

求极限limx

x1

2

x1

.(4')

8.求极限lim

sin(x1)

x11x

1e1

x

x1

.(4')

).(4')

9.求极限lim(

x0

10.设y11.设y

f(x)

x1x1

2

2

，求f'(x),f'(1).(5')

(1x)arctanx

2

，求

y",y

'''

.(5')

12.已知函数y13.设函数y

sine

x

xx2

2

，求dy.(4')

0.(4')

esinx

，证明：y"2y'2y

14.求下列函数的不定积分(45'（1）

1cosx1cos2x

2

20')

（3）sin4xcos5

xdx

dx

（2）

1ee

x

dxx

（4）

1x9

2

dx

三、应用题（其中第1、2题分别10'，第3、4题分别8'，共计36'）

1.设某商店每周生产单位时边际成本为0.3x8（元/单位），固定成本为C(0)=100

元,求

（1）总成本函数C(x). （2）若该商品的需求函数为x

3204p

，求利润函数

L(x).（3）每周生产多少单位可获得最大利润？最大利润是多少？

2.某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出x套冰箱，其单价为应为

p2800.4x

，同时还确定，生产x台冰箱的总成本可表示成C(x)

50000.6x

2

（1）求总收入R(x).（2）求总利润L(x).

（3）为使利润最大化，公司必须生产并销售多少台冰箱？

（4）最大利润是多少？

（5）为实现这一最大利润，其冰箱的单价应定为多少？

3.传播学中有这样一个规律，在一定情况下，谣言的传播符合函数关系

p(t)

11ae

t

kt

，其中p(t)是t时刻人群中知道此谣言的人数比例，a和k为正数.

（1）求lim（3）当a

p(t).（2）找出谣言的传播速率v(t).

10,k5

，而时间用小时(h),回答需要多长时间人群中有80%的人知道

此谣言。（已知ln0.0253.19，ln16007.38）

4.用输油管把离岸12公里的一座油田和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来，如果水下输油管的铺设成本是5万元/海里，陆地铺设成本为3万元/海里，如何组合水下和陆地的输油管使得铺设费用最少？

油井 12公里

炼油厂

20km

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5ffffdc68bd63186bcebbc3b.html

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