第35届IMO数学竞赛试题
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素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 第35届IMO试题 1. m和n都是正整数，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak， 求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。 2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。 3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数， 求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值。 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数。 5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1和0，f(x)/x使严格递增的。
6. 试证明存在满足下列性质的正整数集合A：对任何由素数构成的无限集S，都有k≥2以及两个正整数m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k个不同元素的乘积。
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