19.2.1 矩形(一) 知识与技能 1、 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。并 渗透运动联系、从量变到质变的观点． 培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。 教学目标 过程与方法 情感态度与价值观 重点 难点 矩形的性质． 矩形的性质的灵活应用． 教 学 过 程 备 注 教学设计 与 师生互动 第一步：课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象． 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等． 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=11AC=BD． 22因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第二步：应用举例： 例1 （教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求． 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°， ∴ △OAB是等边三角形． ∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）． 例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长． 分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法． 略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6． 则 AD=6cm． （2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm． 例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF． 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC． 例2 已知：如图3，矩形ABCD中，AEBD于E，且DAE3BAE。 求：CAE的度数。 分析：由已知DAE3BAE可得BAE22.5,DAE67.5。而所求CAE是EAD的一部分，就要研究OAD与其它角的关系。因为OA＝OD，所以OAD＝ADB。把题目中的已知条件AEBD，与矩形的性质BAD90结合起来，得到基本图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出BAEADB，于是得到OADBAE22.5，求CAE的度数也就显然了。 AOEB图3 解：矩形ABCDDC BAD90 AEBDBAEEADEADADB90BAEADBACBD,OAOAOD BAEOAD11AC,ODBD22OADADO DAE3BAEDAE67.5 OAD22.5 BAD90BAE22.5EACDAEOAD45 例3 已知：如图4，矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，且EF＝BF，EFBD。求证：CF＝OF。 AE31DO24BF图4 C 分析：欲证CF＝OF，只要FCOFOC，由矩形可知OE＝OF，又因为FCOFBO。由RtBOFRtDOE，可得到OFEF＝BF，有1BF2，由于EFBD，于是FBO30,进一步BOC120，又有BOF90， FOCFCO30证明：矩形ABCD，OBODAD//BC12,341EODFOBOEOFEF2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/6156ca0668d97f192279168884868762caaebb2c.html