双变元(导数)
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11.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=logax(a>0且a≠1),其中a为常数。 2x1+x2g(x1)+g(x2)（1）如果A(x1,y1),B(x2,y2)(112)是函数y=g(x)的图象上两点，若恒有g()>
22成立，求a的取值范围；
（2）如果h(x)=f(x)+g(x)在定义域上是增函数，且h′(x)存在零点（h′(x)是h(x)的导函数）。
①求a的值；②设A(x1,y1),B(x2,y2)(112)是函数y=g(x)的图象上两点，且g′
(x0)=
y2-y1x1+x2
(g′(x)为g(x) 的导函数），证明：①x0< ②mx0n． x2-x12
21．解：（Ⅰ）2012年辽宁省重点协作体二模
（2）由（1），
x1x2g(x1)g(x2)ggxx 22
1
g(x0)
x0 x1x2
loglogax1x2a 21g(n)g(m)
x0nm
nm
x0 lnnlnmx1x2
x1x2
2
2.对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．特别地，x1+x2
当X0= 时，又称AB存在“中值伴侣切线”．
2
（1）函数f（x）=x图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”； （2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴
m侣切线”，若存在，求出A、Bn的坐标，若不存在，说明理由 a1m
lnnlnm
解：（1）M
1mlnnmlnmnm h(x)x22xlogax2
(x0)
1
2
rxxnxxnxxn
1x2
h(x)x2
xlna
3.设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2，且x12 （I）求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性； 1-2ln2
（II）证明：f(x2)>
4
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2009年全国卷2
解: （I）
4. （本小题满分12分） 已知函数f(x)lnx
a2x22xa
fx2x(x1)
1x1x
g(x)2x2xa
x
12
x、x
g(x)0
1
a（I） 若b2，且yf(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
g(1)a0
1x0，证明：（II）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB0中点的横坐标为a
f'(x0)0．
12
axbx(a0). 2
4.（本小题满分12分）
2
x1,b(2x)
1
f(x)lnxax22x
fx20,f(x)
1ax22x1(1,x)
f'(x)ax2.
xx
x(x,x)
f(x)
fx0,f(x)
f'(x)
(x,x)
2
x(x)
1
5.设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．
x
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
9. (1) 解：根据求导
2lnx
13a2
6.设函数f(x)=x-x+bx+c，其中a＞0，曲线y=f(x)在点P（0，f(0)）处的切线方程为
32y=1 （Ⅰ）确定b、c的值（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点（0,2）证明：当x1x2时，f′(x1)f′(x2) （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围。2010湖北文
3
7.已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x. (I)讨论f（x）的单调性； （II）设a＞0，证明：当0＜x＜
111时，f（+x）＞f（-x）； aaa
（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：
f( x0)＜0.
1
8.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
2
(1) 若a＝－2时，函数h(x)＝f(x)－g(x)在其定义域内是增函数，求实数b的取值范围； (2) 在(1)的结论下，设φ(x)＝e2x＋bex，x∈[0，ln2]，求函数φ(x)的最小值；
(3)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
10. 解：(1) 依题意：h(x)＝
2
4
4.已知函数f(x)=xe-x(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)．
【解】（Ⅲ）如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x2>2．
（Ⅰ）
1alnx
5.已知函数f(x),aR.
x
（I）求f(x)的极值；
fx1xex
【
解
/
析】：（Ⅰ）
（II）若lnxkx0在(0,)上恒成立,求k的取值范围；
alnx
f(x),2
x
fx1xex0
x1x
f(x)0
（III）已知x10,x20,且x1x2e,求证:x1x2x1x2.【河北省石家庄市2009
xe
年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】 fx,fx
x(0,ea),f(x)0,f(x)
6.设函数f(x)xa(x1)ln(x1),(x1,a0)
fx
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
12
,1
x(ea,),f(x)0,f(x)
（Ⅱ）当a1时，若方程f(x)t在[,1]上有两个实数解，求实数t
1,
的取值范围；
f(x)
a
ea（Ⅲ）证明：当m>n>0时，(1m)n(1nf)me。【安徽省示范高中皖北协作区
fx
x1
2009年高三联考（理）22
7.已知函数f(x)ln12xmx
lnxkx0
f1
(0,)(0,)
lnx1
kf1xe
g(x)
lnx
y0).gx(xx
5
yfx
（1）f(x)为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围 （2）当m1时，求函数f(x)的最大值
4f(a)f(b)2
m11ab0ab（3）当时，且，证明：3【2009年3月四县(市)
高三调研考试.（理）21．】
10.已知函数f(x)(a1)lnxax1 （I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。
11.已知函数f(x)(a1)lnxax1.
（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）设a2，证明：对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.
12.已知函数f(x)=
2
2
12
x-ax+(a-1)lnx，a1。 2
6
（1）讨论函数f(x)的单调性；
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有13.已知函数（x）=
f(x1)f(x2)
1。
x1x2
9a
,a是正常数。（1）若f(x)= （x）+lnx,且a=,求函数f(x)
2x1
⑴
的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+（x）,且对任意的x1,x2∈（0,2〕，且x1≠x2，都有
g(x2)g(x1)
＜-1，求a的取值范围
x2x1
fx
12
14.f(x)=-ax+(2+a)x-2(2-a)lnx①讨论单调性；（2）若a>2,012<4且f(x1)=f(x2),证
2明：x1+x2>4
1x
92x1
2
13a2
x0，f(0)）处的切线方程为fP17.设函数f(x)=x-x+bx+c，其中a＞0，曲线y=f(x)在点（
32y=1 （Ⅰ）确定b、c的值（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点（0,2）
2
2x5x2的三条不同切线，证明：当x1x2时，f′(x1)f′(x2) （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y=f(x)
2
2xx1求a的取值范围。2010湖北文
1-k+lnx
18.已知函数f(x)= ,k∈R.
x
(1)求f(x)的极值；（2）若x1∈（0，+∞），x2∈[1,2]，使lnx1>x1x2-ax1x2成立，求a的
7
2
取值范围；（3）已知x1>0,x2>0,且x1+x2求证：(x1+x2)>(x1x2)
x1x2x1+x2
19.已知函数f(x)=xlnx,设F(x)=f(x)–f(a–x)(常数a>0). 21.(1)注意 (1)求证:F(x)图象是中心对称图形; F(x)+F(a–x)=[f(x)–f(a–x
)]+[f(a–x)–f(a–a+x)]=022
(2)当a=时(无理数e=2.71828…是自然对数的底),判断F(x)的单调性; ae
51
(3)若a∈[,1+2],求F(x)极大值的最大值. ．．．．2ee
18. （本小题满分14分）
2a2
x(a0)． 已知函数f(x)alnxx
（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅲ）当a(,0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)解：（I）fx的定义域为{x|x0}.
12
e． 2
a2a2
fx21x0.
xx
根据题意，有f12，所以2aa30，
2
解得a1或a
3
. ……3分 2
a2a2x2ax2a2(xa)(x2a)
（II）fx21x0. 22
xxxx
（1）当a0时，因为x0，
由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa； 由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0xa.
8
所以函数f(x)在a,上单调递增，在0,a上单调递减. （2）当a0时，因为x0，
由f(x)0得 (xa)(x2a)0，解得x2a； 由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0x2a.
所以函数f(x)在0,2a上单调递减，在2a,上单调递增. ……9分 （III）由（Ⅱ）知，当a(,0)时，函数f(x)的最小值为g(a)，
2a2
2aaln(2a)3a. 且g(a)f(2a)aln(2a)2a
2
3ln(2a)2， 2a
12
令g(a)0，得ae.
2g(a)ln(2a)a
当a变化时，ga，ga的变化情况如下表：
a
1(,e2)
2
＋
1e2 2
0 极大值
1
(e2,0) 2
－
ga
ga
1
且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点. e2是g(a)在(,0)上的唯一极值点，
2
1111
所以ga最大值g(e2)e2ln[2(e2)]3(e2)
2222131e2lne2e2e2.
222
12
所以，当a(,0)时，g(a)e成立. ……14分
2
1322
【例题】（2009天津文21/22）设函数f(x)xx(m1)x,(xR,)其中m0
3
（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
9
（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2.若对任意的x[x1,x2]，
f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围.
'解：（2）f(x)x2xm1，令f(x)0，得到x1m,x1m
'
'
2
2
因为m0,所以1m1m，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：
x (,1m)
+
1m
0
(1m,1m)
-
1m
0
(1m,)
+
f'(x)
f(x)
极
小值 极大值
f(x)在(,1m)和(1m,)内减函数，在(1m,1m)内增函数.
231mm2 332312
函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=mm
33
1212
（3）解：由题设， f(x)x(xxm1)x(xx1)(xx2)
33
122
所以方程xxm1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x23，
34211
且1(m1)0，解得m(舍)，m
322
3
因为x1x2,所以2x2x1x23,故x21
2
1
若x11x2,则f(1)(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意
3
函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)=若1x1x2,则对任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,
1
x(xx1)(xx2)0又f(x1)0，所以函数f(x)在x[x1,x2]的最3
12
小值为0，于是对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m0,
3
则f(x)解得
33m33
w.w.w..s.5.u.c.o.m
10
综上，m的取值范围是(,
13
)23
3
2
2
8.(2011湖北文)设函数f，gx，其中xR，a、()xx2axbxa()x3x2b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；
(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对任意xg()xmx的xx恒成立，求实数m的取值范围。 ()g()xm(x1)1,x2，fx
8.(2011湖北文)
解：(I)f(x)3x4axb,g(x)2x3，由于曲线曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线，故有f(2)g(2)0,f(2)g(2)1，由此解得：
/
/
/
2
/
a2,b5；
切线l的方程：xy20‘
(II)由(I)得f(x)g(x)x3x2x，依题意得：方程x(x3x2m)0有三个互不相等的根
3
2
2
0,x1,x2，故x1,x2是方程x23x2m0的两个相异实根，所以
1
94(2m)0m；
4
又对任意的xx恒成立，特别地，取xx1时， ()g()xm(x1)1,x2，fx
f(x1)g(x1)mx1m成立，即0mm0，由韦达定理知： x1x230,x1x22m0，故0x1x2，对任意的xx1,x2，有 xx20,xx10,x0，则：
f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0；又f(x1)g(x1)mx10
11
所以函数在xxx1,x2，1,x2上的最大值为0，于是当m0时对任意的x
1
恒成立；综上：m的取值范围是(,0)。 fx()g()xm(x1)
4
2
练习：设G(x)=x-bx+2-clnx(c>0)，方程G(x)=0有两根x1,x2,且x1≠x2,记x0=(x1+x2)/2，试探究G'(x0)值的符号（其中G'(x)是G(x)的导函数）
.
21．解：（I）
b2时,h(x)lnx
22
14.已知函数f（x）=（x-3x+3）e，x∈[-2，t]（t＞-2）． （Ⅰ）当t＜1时，求函数y=f（x）的单调区间； （Ⅱ）设f（-2）=m，f（t）=n，求证m＜n；
21（Ⅲ）设g（x）=f（x）+（x-2）e，判断并证明是否存在区间[a，b]（a＞1）使函数h(x)y=gax2
x（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．（2012银川市质检）
（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
h(x)
12
26.【江门市2009年高考模拟考试（理）21.】（本小题满分12分）已知函数
f(x)x3ax2x，aR是常数，xR．
⑴若y2x1是曲线yf(x)的一条切线，求a的值； ⑵mR，试证明 x(m , m1)，使f/(x)f(m1)f(m)．
【解析】：⑴f(x)3x2ax1-------1分，解f(x)1得，x0或x分
当x0时，f(0)0，y010，所以x0不成立-------3分
/
2
/
2a
-------23
13
8a34a32a2a2a
1，得当x时，由f(x)y，即279333
332
a-----5分
2
⑵作函数F(x)f(x)[f(m1)f(m)]-------6分
/
F(x)3x22ax(3m23m2ama1)，函数yF(x)在[m , m1]上的图
象是一条连续不断的曲线------7分，
F(m)F(m1)(3ma1)(3ma2)------8分
①若(3ma1)(3ma2)0，F(m)F(m1)0， x(m , m1)，使
F(x)0，
即f(x)f(m1)f(m)-------10分
②若(3ma1)(3ma2)0，23ma1，F(m1)3ma20，
/
F(m)(3ma1)0，F(x)3x22ax(3m23m2ama1)当x
2
a
时3
a232a213(m)0，且当有最小值Fmin(x)(3m3m2ama1)364
23ma1时mm
所以存在 x(m ,
1a2
mm1-------11分， 333
aa
)（或 x( , m1)）从而 x(m , m1)，使33
F(x)0，即f/(x)f(m1)f(m)-------12分
22．已知函数
．
（1）若函数f（x）在x=3处的切线方程是y=4x+b，求a，b的值；
（2）在（1）条件下，求函数f（x）的极值；
（3）若函数f（x）的图象与x轴只有一个交点，求a的取值范围．
考利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上点： 函数的最值。
14
专综合题；分类讨论。 题：
分（1）求出f′（x），根据切线方程y=4x+b得到切线的斜率为4，得到f′（3）=4，代入即析： 可求出a的值，然后把a代入到f（x）确定其解析式，把x=3代入解析式中求出f（3）
的值即可得到切点坐标，把切点坐标代入到切线方程中即可得到b的值； （2）把（1）中a=﹣2代入到函数解析式中得到f（x），然后令f′（x）=0解出x的值，利用x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极值即可；
（3）求出f′（x），分①根的判别式小于等于0即可求出a的取值范围；②根的判别式
大于0时，得到f′（x）=0的两个解设为x1、x2，且x2＞x1，根据韦达定理可知
，
根据方程根的定义得到a的值，代入到f（x）中得到值大于0，列出关于x2的不等式，
2
求出解决得到x2的范围，根据a=﹣x2+x2即可得到a的取值范围；同理根据韦达定理得到x1＜，此时的f（x）小于0，解出x1的取值范围即可求出a的取值范围． 解解：（1）f（x）'=x﹣x+a，由切线方程y=4x+b得到切线的斜率等于4则把x=3代入到答： f′（x）中得到f（3）'=4，
代入得9﹣3+a=4，解得a=﹣2，
则把
，当x=3时，
代入y=4x+b，得到12+b=
，解得
；
，
2
（2）把a=﹣2代入得到
2
由f'（x）=x﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1
当x＜﹣1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0； ∴f（x）极大值为（3）f'（x）=x﹣x+a， ①由△=1﹣4a≤0可得：
；
2
，f（x）极小值为f（2）=0；
②当△＞0时，设f'（x）=0的根为x1、x2，且x2＞x1，由x1+x2=1得∴由方程根的定义知，a=﹣x2+x2，
=
2
15
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/6493e3f353e2524de518964bcf84b9d528ea2ce7.html