数学归纳法应用中的四个常见错误 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。证明时,它的两个步骤:归纳奠基和归纳递推缺一不可。使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误:(1)初始值确定的错误;(2)对项数估算的错误;(3)没有利用归纳递推;(4)关键步骤含糊不清。现举例如下: (1) 初始值估计的错误。归纳奠基是归纳的基础,是数学归纳法的关键之处。通常是1,但不总是1。有些同学思维定势,认为是1,而不能具体问题具体分析。 例1.用数学归纳法证明“>+1对于n>的正整数n成立”时,第一步证明中的起始值应取( ) A. 1 B. 2 C. 3 D.5 【答案】 选D 例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是 A. 1 B. C. D.以上答案均不正确。 【答案】选C 点评:这也是一个常见的错误,解题的关键是因为分母是连续的,由最后一项既其前面的项组成。 (2) 对项数估算的错误 用数学归纳法证明恒等式时,由n=k递推到n=k+1时,左端增加的项有时是一项有时不只是一项,有有时左端的第一个因式也可能变化。举例如下: 例3.用数学归纳法证明不等式<n(n∈)过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左端增加的项数是( ) A. 1 B. -1 C. D. +1 解析;当n=k时,左端= 当n=k+1,左端= 括号内的部分是增加的式子,计算可知共项 点评:这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增,抓住这个关键,再通过n=k和n=k+1左端进行对比,就不会发生错误了。 【答案】 选C 例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N)时,从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式,它是 ( ) 解析:当n=k时,= 当n=k+1时,= 通过对比可知,增加了两项(2k+1)(2k+2)减少了一项k+1。故答案选D。 点评:通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。因为每一项中都有n,项数会有增有减。 (3)没有利用归纳递推 数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可,归纳奠基是递推的基础,归纳递推是递推的依据,二者是一个整体,不能割裂开来。就像多米诺骨牌游戏,第一块不到,后面的块肯定不到,中间的任意一块不到,游戏也不能继续,环环相扣。 例5.用数学归纳法证明的过程如下: ①当n=1时,左边=1,右边==1,等式成立。 ②假设当n=k时,等式成立,即 则当n=k+1时, 所以,当n=k+1时等式成立。 由此可知,对任何,等式都成立。上述证明的错误是 ..【答案】没有用上归纳递推。 正确的解法是②,即用上了第二步中的假设。 点评:步骤不完整是常犯的错误,除忘记用归纳递推外,有时还忘记第一步——起始值的确定,或忘记归纳结论,所以一定牢记“两个步骤一个结论”。 (4)关键步骤含糊不清。 用数学归纳法证明时有一个技巧,即当n=k+1时,代入假设后再写出结论,然后往中间”凑”。但中间的计算过程必须有,不能省略也不能含糊不清。这一步是数学归纳法的精华所在,阅卷老师关注的重要环节。例题略。 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/6951a006dc80d4d8d15abe23482fb4daa58d1d54.html