第十讲 最小公倍数 自然数可以分为质数、合数和1。按照这种分类来研究自然数是有意义的。什么是公倍数？由知，48是2，3，6公有的倍数，称为公倍数。而6，12，24，48，都是2，3，6的公倍数，其中6是2，3，6公倍数里最小的一个，称为最小公倍数。 定义1.2如果a是bi(i1,2,,n)的倍数，那么a称为b1,b2,,bn的公倍数。公倍数中最小的一个称为最小公倍数，记为b1,b2,,bn。 注意：几个非零整数b1,b2,,bn的最小公倍数唯一存在。 在解决有关最小公倍数的问题时，有时候直接使用定义不方便，而用性质却很方便，下面我们来学习最小公倍数的性质。 性质1.1 kb1,kb2,,kbnkb1,b2,,bn。 性质1.2 (1)a,ba,bab； (2) 若a,b1则a,bab； nn(3) a,ba,b； n(4)若a,b1则a,bcba,c。 性质1.3 (1)若b1,b2,,bkmk，则b1,b2,,bnmk,bk1,,bn(1kn)； (2)若b1,b2,,bkmk，bk1,,bnqk,则b1,b2,,bnmk,qk(1kn)。 根据最小公倍数的定义和性质，对照最大公约数的求法，可以得到几种求最小公倍数的方法。 1.分解质因数法 例1 求2940,756,168 解：因为2940223572, 75622337, 1682337, 所以2940,756,168233357292920。 2.提取公因式法 例2 求162,216,378,108。 解：162,216,378,108281,108,189,54 299,12,21,61833,4,7,25423,4,7,1 1083271 4536. 这一过程通常写成下面的形式，叫做短除式。 2 162 216 378 108 9 81 108 189 54 3 9 12 21 6 2 3 4 7 2 3 2 7 1 因为3，2，7，1两两互质，所以 162,216,378,108293232714536。 3.先求最大公约数法 先求a,b，再根据a,ba,bab知，a,ba,b。 例3 求24871,3468。 解：由辗转相除法，可得24871,346817，从而 ab24871,3468248713468177073684。 最后我们学习用最小公倍数解决实际问题的例题。 例4 有甲、乙两个啮合的齿轮，甲轮418个齿，乙轮285个齿，两轮的某一对啮合的齿，转动起来后，到第二次再啮合，问甲、乙两个齿轮各要转几周？ 解：甲、乙两齿轮从第一次啮合(接触)到下一次啮合。两轮转过的齿数相同。两轮连续两次啮合，要转过齿数的两轮齿数的最小公倍数。 418,28523511196270。 则甲轮转过的周数是627041815(周)， 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/69d3d74d17791711cc7931b765ce05087732754d.html