幂函数的知识
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α幂函数的知识 幂函数：一般地.形如y=x(a为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为012-1-10幂函数。例如函数y=x、y=x、y=x、y=x（注：y=x=1/x y=x时x≠0）等都是幂函数。 a幂函数的一般形式是y=x，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时取其近似的有理数），这时可表示为y=xm(1)kn，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。 33／5(1)当m，n都为奇数，k为偶数时，如y=x,y=x,y=x等，定义域、值域均为R，为奇函数； -1-33-3／5(2)当m，n都为奇数，k为奇数时，如y=x=1／x，y=x=1／x，y=x等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数； (3)当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如y=x非偶函数； (4)当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如y=x-1／21／2=x，y=x3／4=4x3等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇=1x，y=x-3／4=41x3等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数； 22／3(5)当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如y=x，y=x等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数； -22-2／3(6)当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如y=x=1／x，y=x 等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0) [1]∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。 性质 幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 幂函数y=xa,x是可以小于0的,当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数， 则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2.如果同时a为奇数，则函数的定义域为所有非零实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：①在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。②在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 正值性质 α当a>0时，幂函数y=x有下列性质： a、图像都经过点（1,1）(0,0）； b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数； c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0； 负值性质 α当a<0时，幂函数y=x有下列性质： a、图像都通过点（1,1）； -2，b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此） c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 零值性质 当a=0时，幂函数y=x有下列性质： a、y=x的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。 讨论分析 由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到： （1）所有的图像都通过（1，1）这点.(α≠0) α>0时 图象过点（ 0a 特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1） （2）单调区间： 当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性： ①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增； ②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增； ③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能 幂函数的单调区间（当a为分数时） 说在定义域R内单调递减）； ④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。 当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性： ①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增； ②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增； ③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减； ④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）； （3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）； 当0时，幂函数图形上凸（横抛）。 当a<0时，图像为双曲线。
（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。
（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （6）显然幂函数无界限。
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（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数 {x|x≠0}。 特性
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且p／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x
p／q
=xp，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q
k
q
是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
a小于0时，x不等于0； a的分母为偶数时，x不小于0； a的分母为奇数时，x取R。
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