幂函数知识点
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幂函数 1.幂函数：一般地，形如y=x（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. aaa 要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx， y=（mx）， y=x+m， ay=（x+m）（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中只有y=x是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x要满足三个特征：○1幂x前的系数是1；○2底2aaa数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决. 2.幂函数在第一象限的图象： a *幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N，n∈Z且m，n互质)． (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称． (3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限． 3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示) (2)性质(如表) 4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； ②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，
a
1)的直线．⑤当a=0时，y=x表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 5.幂函数图象的其他性质：
a
(1)图象的对称性：把幂函数y=x的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是
a
分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
a
(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
6.幂函数的单调性和奇偶性：
a
对于幂函数y=x（a∈R)．
aa
(1)单调性:当a>0时，函数y=x在第一象限内是增函数；当a<0时，函数y=x在第一象限内是减函数．
aa
(2)奇偶性:①当a为整数时，若a为偶数，则y=x是偶函数；若a为奇数，则y=x是奇函数;②当n为分数，即
aa
a=p／q（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，y=x为奇函数；分子p为偶数时，y=x
a
为偶函数， 若分母q为偶数，则y=x为非奇非偶函数 7.比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性．(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性．(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个中间数作为桥梁来比较大小． 8.在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．对于幂函
a
数y＝x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即a<0,0和a>1三种情况下曲线的基本形状，还要注意a＝0，±1三个曲线的形状． 9.利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下： (1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
(3)当幂的底数和指数都不同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性比较；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小．
(4)比较多个幂值的大小，一般也是运用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较，最后确定各数之间的大小关系．
例题部分
1.比较下列各组数的大小
（1）1.5，1.7，1 （2）2
13
13
37
4210
，1.13 ，3，5 （3）2，7
3
7
37
23
23
解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵yx在0,上单调递增，且1.71.51，∴1.7（2）底数均为负数，可以将其转化为2∵yx
3
713
13
1.51．
13
37
2
37
37
，3
37
在
0,
37
上单调递增，且
37
532
37
3，55． ，∴532，
37
37
37
373737
即
5
37
3
2
，∴5
32
22
23
37
．
23
（3）先将指数统一，底数化成正数．
2
22
2
3
，10
7107
2
23
，1.1
2
43
1.21．
23
∵yx3在0,上单调递减，且7
10
232，即：3，∴721.2131.212210
7
10
23
22
-0.5
2
3
1.1
43
．
2.已知（m+4） ＜（3-2m），求m的取值范围
-0.5
解：幂函数f（x）=x的定义域是（0，+∞），且在定义域上时减函数，所有0＜m＜1.5 3.若a1分析：若x
1
3
-0.5
32a，求实数a的取值范围．
y，则有三种情况x0y，yx0或0yx．
a10
13
13
13
a10或解：根据幂函数的性质，有三种可能：32a032a0
2
或
a132a
a10
，
32a0a132a
m2m3
yx4.已知幂函数（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值
解：∵幂函数yxm
2
2
2m3
（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，∴m2m30，∴1m3；
2
2
∵mZ，∴(m2m3)Z，又函数图象关于原点对称，∴m2m3是奇数，∴m0或m2
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