水中物体的视深度

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水中物体的视深度

在空气中观看放在水中的物体，物体的视深比实深浅，这是一个折射成像问题，在一般教科书中给出了定性的解释，而未作定量分析，文献[1]用分区域的方法讨论了虚像的直移和侧移的定量计算问题，但所给直移和侧移的计算公式涉及区域对应的两个入射角和两个折射角，公式大概过于复杂。本文利用折射定律的微分形式，导出了水面下实深为h的物体通过水面折射所成虚像点的位置坐标是折射角〔或入射角〕的单值函数。

1、平面折射成像

平面折射成像问题比较复杂，我们明白，水下点光源向不同方向发出的光线通过水面折射，其折射光线的反向方向延长线并不相交于一点，即单心光束经折射后将变成像散光束，可见平面折射一般是不能理想成像的。那么，什么原因我们在水面上能观看到物体的比较清晰的像呢？这是因为人眼的瞳孔特别小〔直径约为3mm〕，只能有特别小一部分折射光线进入眼睛，这些光线的反向延长线近似地相交于一点，这是眼睛看到的物点的近似像。可见，当观看装置〔包括人眼〕的口径足够小时，平面折射也能近似成像。如图1所示，当眼处于E1位置时，我们观看到虚像位于S1，当眼睛处于E2位置时，虚像们于S2，随着眼睛由垂直位置向旁侧移动，虚像位置逐渐移近水面。 2、虚像位置的坐标表达式

设物体S的实深为h，水的折射率为n，空气的折射率n01，SM1和SM2为S点发出的元光束在其子午面xoy上的两条边缘光线，它们折射后成为光线P1M1和P2M2，延长线的交点在S1处，如图2所示。

由折射定律得

由折射定律得nsinisin (1)

nsinisin (1)将折射定律的数学表达式 (1) 微分,则有

将折射定律的数学表达式 (1) 微分,则有ncosidicosd (2)

ncosidicosd (2)由SM1M2和S1M1M2得

由SM1M2和S1M1M2得SM1diM1M2cosi (3)

SM1diM1M2cosi (3)S1M1dM1M2cos (4)

S1M1dM1M2cos (4)由 (3) (4) 式得由 (3) (4) 式得由 (2) (5 式得由 ()2) (5) 式得

1

SM1cos (5) (5)1MSMdicosSdi2ScosMidcosid

1

1

2

hyhy即 SM SM1SM1 1SM即 111SM1SMcoscos将 SM S1M (6) 式得1S将1 SM M (6) 式得

hcos3

cos y yh (7 )(7)3 ncosnicos3i

sin22221/21/

sin1/2因为 cosi(1sini)(1)21/22因为 cosi(1sini)(1)n2n1/22

1/2(n2(sin2)2

nsin)  n

n323

hcoshnhcos323

cosnhcos所以 y223/2223/2所以 y(n(sin)2)3/2(n(sin)2)3/2n23sinn2sinnnn

n3

(8) (8) 由图2知 x知 OMDM1htani|y|tan由图2x1OM1DM1htani|y|tan (9) (9) 将 (7)式代入 (9)式得将 (7)式代入 (9)式得

3

sinisinhicosh3sinxhxh3cossin

cosicoscosnicosnicoscos3

i22

nhsinicosih2sincos2  nhsinicos3ihsincos

ncosnicos3i

21/2

sinsin(n2(sin2)2

nsin)1/2将sini , cosi代入上式得将sinin , cosin代入上式得

n2n3h(nh(1)sin23

n1)sin x(10)(10) 223/2 x(n(sin)2)3/2n2sin

1

3

1

11

又由 SOMS1D知M知1和 和1M1又由 SOM SD1111

yyhh

cosicoscosSMi cos SM

1SM11SM

1

1

1

22

SM1cos (6)(6)2nS1M2cosi SMcosnSMcos2i

1

2

〔8〕式和〔9〕式机为虚像位置的表达式，由此表达式能够方便地描绘出观看角由小到大时虚像点移动的轨迹。

3、讨论

〔1〕在垂直方向观看水下物体时虚像的深度。

人在物体S正上方垂直向下看时，由物点S发出进入瞳孔的光线的入射角i0，由折射定律知折射角a=0。

由〔8〕式和〔10〕式得虚像位置的坐标为

x0h y

n

h n

〔2〕入射角等于临界角时，物体的视深度。即如今物体的视深|y|

1

当物体S发出的光线的入射角i等于临界角ic(icarcsin)时，折射角a900。

n如今虚像点S1的位置坐标由〔8〕式和〔10〕式求得

xh(n1)

2

12

437

h y0 设水的折射率n , 则x

37

即物体S的视深为零。

由上面的讨论可知，当观看角度由小到大时所观看到的一条像点移动轨迹始点坐

h

标为(0 , -)，终点坐标为[h(n21)2 , 0]。

n

1

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/6f709af9effdc8d376eeaeaad1f34693dbef1073.html

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