2022年高考数学二轮复习:隐零点问题

时间:2022-05-16 00:15:21 阅读: 最新文章 文档下载
说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。
2022高考数学二轮复习:隐零点问题

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的,我们称之为隐零点,即能确定其存在,但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题. 已知函数f(x)aexsin xxx[0π] (1)证明:当a=-1时,函数f(x)有唯一的极大值点; (2)当-2<a<0时,证明:f(x)<π.

证明 (1)a=-1时,f(x)xsin xexf(x)1cos xex 因为x[0π],所以1cos x0

g(x)1cos xexg(x)=-exsin x<0 所以g(x)在区间[0π]上单调递减. 因为g(0)211>0g(π)=-eπ<0 所以存在x0(0π),使得f(x0)0 且当0<x<x0时,f(x)>0 x0<x时,f(x)<0.

所以函数f(x)的单调递增区间是[0x0],单调递减区间是[x0π] 所以函数f(x)存在唯一的极大值点x0.

(2)当-2<a<0时,令h(x)aexsin xxπ h(x)aexcos x1 k(x)aexcos x1 k(x)aexsin x<0

所以函数h(x)在区间[0π]上单调递减, 因为h(0)a2>0h(π)aeπ<0 所以存在t(0π),使得h(t)0 aetcos t10

且当0<x<t时,h(x)>0;当t<x时,h(x)<0.

所以函数h(x)在区间[0t]上单调递增,在区间[tπ]上单调递减. h(x)maxh(t)aetsin ttπt(0π)

因为aetcos t10,只需证φ(t)sin tcos tt1π<0即可, φ(t)cos tsin t1sin t(1cos t)>0

所以函数φ(t)在区间(0π)上单调递增,φ(t)<φ(π)0,即f(x)<π.

1 3


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/7acf3123eb7101f69e3143323968011ca300f7fe.html