2022年高考数学二轮复习：洛必达法则 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)limf(x)＝limg(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)x→ax→a和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3)lim x→alim x→af′x＝A(可连续使用)． g′xf′xfx＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则lim ＝x→agxg′x例 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解 方法一 由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0， 当x＝1时，不等式成立， x2ln x当x>1时，a≤2， x－1xx2－1－2ln xx2ln x令g(x)＝2(x>1)，则g′(x)＝， x－1x2－122因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0， x故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增， 则y＝x2－1－2ln x>0， xx2－1－2ln x故g′(x)＝>0. x2－12所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增． x2ln x则g(x)>g(1)，由洛必达法则知lim x→1x2－1＝lim x→12xln x＋x1＝. 2x2x2ln x1所以由a≤2恒成立，则a≤. 2x－1方法二 f′(x)＝2xln x＋x－2ax＝x(2ln x＋1－2a)， 因为x≥1，所以2ln x＋1≥1， 1则当a≤时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0， 2此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 1所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，所以a≤； 21当a>时，由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0， 2得x＝x0，且2ln x0＋1－2a＝0，x0＝e2a12， 第 1 页 共 2 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f68b965d1411cc7931b765ce0508763231127490.html