高考复习资料 课时作业38 直接证明与间接证明 [基础达标] 一、选择题 1．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A．综合法B．题目考点分析法 C．比较法D．归纳法 2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( ) A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除 1113．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( ) yzxA．至少有一个不大于2B．都小于2 C．至少有一个不小于2D．都大于2 4．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>QB．P＝Q C．P<QD．由a的取值确定 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A．恒为负值B．恒等于零 C．恒为正值D．无法确定正负 二、填空题 6．如果aa＋bb>ab＋ba，则a，b应满足的条件是________． 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________. 8．[2021·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________． 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列． ab10．已知a，b是正实数，求证：＋≥a＋b. ba - 1 - / 4 高考复习资料 [能力挑战] πππ11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c236中至少有一个大于0. 课时作业38 1．题目解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用题目考点分析法证明较为合理，故选B. 参考答案：B 2．题目解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 参考答案：B 1111x＋3．题目解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝yzxx11y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾， ＋yz∴a，b，c都小于2错误． ∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项． 参考答案：C 4．题目解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证： 2a＋13＋2a＋6a＋7>2a＋13＋2a＋8a＋5，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立． 参考答案：A 5．题目解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0. 参考答案：A 6．题目解析：aa＋bb>ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. - 2 - / 4 高考复习资料 参考答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．题目解析：因为a∥b， 所以(x＋1)×(－2)＝2×4， 解得x＝－5. 参考答案：－5 8．题目解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 参考答案：x≠－1且x≠1 9．证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B， 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． 10．证明：证法一 (作差法)因为a，b是正实数，所以a－ba－b aba－b2a＋b＝≥0， abab所以＋≥a＋b. ba＝证法二 (题目考点分析法)已知a，b是正实数， ab要证＋≥a＋b， ba只需证aa＋bb≥ab(a＋b)， 即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)， 即证a＋b－ab≥ab， 就是要证a＋b≥2ab. ab显然a＋b≥2ab恒成立，所以＋≥a＋b. ba证法三 (综合法)因为a，b是正实数， ab·b＋2·a＝2a＋2b， baab当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥a＋b. ba所以证法四 (综合法)因为a，b是正实数， abaabb＋(a＋b)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2baba＋b)2， 当且仅当a＝b时取等号， ab所以＋≥a＋b. ba所以11．证明：假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c πππx2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝236- 3 - / 4 aabb·＝a＋b＋2ab＝(abaab＋b＋＋a≥2bab－aa－bab＋－a－b＝＋ baab 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/7adf658701d276a20029bd64783e0912a2167ca3.html