学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 向 量 专题7 极化恒等式之矩形大法 如图,在矩形ABCD中,若对角线AC和BD交于点O,P为平面内任意一点,有以下两个重要的向量关系:①PA2 PC2PB2PD2 ;① PAPCPBPD. 秒杀秘籍:第一讲 极化恒等式之矩形大法 ab2ab2证明:①连接PO,根据极化恒等式ab2,可得2222AC2222PAPC2POPBPD; 422AC2abab2①根据极化恒等式abPBPD ,可得PAPCPO422推广到空间,得到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等. 【例1】(2015•四川预赛)在矩形ABCD中,满足PA2,AB3,AD4,P为矩形ABCD所在平面上一点,PC21,则PBPD . 1,则OA的取值222【例2】(2013•重庆卷)在平面内,AB1AB2,OB1OB21,APAB1AB2若OP范围是( ) 5A.0, 257,B. 225C. 2,2 7D. 2,2 c满足(ac)(bc)0,则【例3】(2008•浙江卷)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c的最大值是( ) A.1 B.2 C.2 D.22 93 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 向 量 22 PAPB【例4】(2012•江西卷)在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等2PC于( ) A.2 B.4 C. 5 D. 10 b、c满足a【例5】已知向量a、3,b2,c且(ac)(bc)0,则ab的取值范围是 _ . 1, |a||b|2,【例6】(2019•浙江模拟)设a,b,c为平面向量,若(2ca)(cb)0,则cb的最大值为( ) A.2 B.9 4 C.17 4 D.5 x2y25【例7】(2014•广东卷)已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为(5,0),离心率为. 3ab(1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 94 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 向 量 达标训练 1.(2018•漳州模拟)已知|a||b|2,|c|1,(ac)(bc)0,则|ab|的取值范围是( ) A.[61,61] C.[71,71] B.[D.[7171,] 226161,] 2237,|c|的最大值235 2 2.(2018•龙岩期中)已知向量a,b,c满足:|a|1,(ac)(bc),a(a2b),若|b|和最小值分别为m,n,则mn等于( ) A.3 2B.5 2C.37 D.3.(2018•唐山二模)在△ABC中,C90,|AB|6,点P满足|CP|2,则PAPB的最大值为( ) A.9 B.16 C.18 D.25 4.(2018•运城市四模)已知a,b为单位向量,且ab,向量c满足|cab|2,则|c|的范围为( ) A.[1,12] C.[2,22] B.[22,22] D.[322,322] 25.(2018•三门峡期末)已知向量a,b,c,满足|a|2,|b|ab3,若(c2a)(cb)0,则|bc|的3最小值是( ) A.23 B.23 C.1 D.2 6.(2018•浙江三模)已知|a||b|1,向量c满足|c(ab)||ab|,则|c|的最大值为 . 7.(2018•赣州期中)已知|a||b|1,且ab,若|abm|1成立,则|m|的取值范围是 . 8.(2018•黔东二模)在平面上,OB1OB2,|MB1|MB2|2,OPOB1OB2.若|MP|1,则|OM|的取值范围是 . 9.(2018•宝山区二模)如图,已知O为矩形PP12P3P4内的一点,满足OP14,OP2OP4的值为 . 35,PP137,则OP10.(2018•黔东南州二模)在平面上,OB1OB2,且|OB1|2,|OB2|1,OPOB1OB2.若|MB1||MB2|,则|PM|的取值范围是 . 11.(2018•天津南开区一模)在四边形ABCD中,ABACAD2,ABAD,则CBCD的最小值为 . |BC|2,12.(2019•播州月考)已知向量|AB|1,若ABBC0,ADDC0,则|BD|的最大值为( ) A.25 5 B.2 C.5 D.25 13.(2019•浙江期中)已知a,b是两个单位向量,与a,b共面的向量c满足c2(ab)cab0,则|c|的最大值为( ) A.22 B.2 C.2 95 D.1 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 向 量 14.(2019•衢州期中)设平面向量a,b,c满足|a|1,|b|2,ab1,(ac)(bc)0,则|2ac|的最大值为( ) 3731 B. C.3 D.2 2215.(2016•重庆月考)已知向量a,b,c,满足|a|4,|b|2,ab0,(ca)(cb)0. A.(1)求|a2b|的值; (2)求|c|的最大值. x2y2216.(2016•武汉模拟)已知椭圆C:221的短轴长为2,离心率. 2ab(1)求椭圆C的标准方程; (2)T1,T2为椭圆上不同两点,过T1,T2作椭圆切线交于点P,若T1PT2P,求点P的轨迹E的方程; (3)若PT1交E于Q1,PT2交E与Q2,求△PQ1Q2面积的最大值. 96 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/7f550b16ba0d6c85ec3a87c24028915f804d843d.html