优胜教育小学数学讲义简单的立方体切拼问题 - 答案
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简单的立方体切拼问题 答案 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去的一半． 正确 ．（判断对错） 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆柱与圆锥等底等高，所以圆柱与圆锥的体 积之比是3：1，则削去部分的体积与圆锥的体积就是2：1，由此即可判断． 解答：解：根据题干分析可得：圆柱与圆锥的体积之比是3：1， 则削去部分的体积与圆锥的体积就是2：1， 所以圆锥的体积是削去的一半， 所以原题说法正确． 故答案为：正确． 点评：抓住圆柱内最大的圆锥的特点， 利用等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系即可解决此类问题． 例2．把一个圆柱切成两个小圆柱，一个小圆柱的表面积就是原圆柱表面积的． 错误 ． 1 耐心 细心 责任心 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 分析：根据圆柱切割小圆柱的特点，得出切割后的小圆柱的侧面积是原圆柱的侧面积的一 半，而小圆柱的底面积等于原圆柱的底面积，由此即可解答． 解答：解：切割后的小圆柱的侧面积是原圆柱的侧面积的一半，而小圆柱的底面积等于原圆 柱的底面积， 所以小圆柱的表面积不是原圆柱的表面积的一半， 所以原题说法错误． 故答案为：错误． 点评：此题考查了利用圆柱的切割特点解决实际问题的灵活应用． 例3．把两个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是12平方厘米，体积是2立方厘米． × ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：我们运用长方体的表面积公式求出拼合后的图形的表面积， 与题干中的表面积进行比较，然后作出判断． 解答：解：现在的形状画图如下： 表面积：（2×1+2×1+1×1）×2， =5×2， =10（平方厘米）； 题干中说表面积是12平方厘米是错误的． 故答案为：×． 点评：本题是一道简单的拼组图形，考查了学生观察，分析解决问题的能力，考查了学生对 长方体表面积公式的掌握与运用情况． 例4．把一根半径2分米，长1分米的圆木截成两根圆木，表面积增加了 25.12 平方分米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一根圆柱形木材截成2段，增加了两个圆柱的底面，所以它的表面积就增加了2个 底面积，由此根据圆的面积公式解答即可． 解答： 解：3.14×22×2， =25.12（平方分米）； 2 耐心 细心 责任心 答：表面积增加了25.12平方分米． 故答案为：25.12． 点评：把圆柱形木料每截一次，可以截成2段，表面积就增加2个底面；截2次，截成3段， 表面积就增加2×2个底面…． 例5．一个圆柱体，沿它的上下底面直径剖开后，表面积增加了24cm2，且剖开面为正方形．求这个圆柱体的表面积．（π取3） 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：根据题干，把圆柱体沿它的上下底面直径剖开后，表面积比原来增加了两个以底面直 径和高为边长的正方形，由此即可求出这个正方形切割面的面积是24÷2=12平方厘米，由此利用圆柱的表面积公式即可推理解答． 解答：解：设圆柱的底面半径是r厘米，则圆柱的高是2r厘米，则根据增加的表面积可得： 2r×2r×2=24， 整理可得：8r2=24，则r2=3， 则圆柱的表面积是：3×r2×2+3×2×r×（2r）， =6r2+12r2， =18r2， =18×3， =54（平方厘米）， 答：这个圆柱的表面积是54平方厘米． 点评：此题考查了圆柱的表面积公式的灵活应用， 关键是根据题干得出圆柱的底面半径和高的关系，利用增加的表面积求出r2的值即可代入解答． 例6．民生包装公司要为某品牌饮料设计一个能放12瓶的包装箱（饮料瓶的尺寸如图）．请你帮他们想想办法，设计一种用料最少的包装箱．请写出计算过程． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：压轴题． 分析：根据题干可知这个包装箱是一个长方体；12瓶饮料的排列方法有：1×1×12；1×2×6； 1×3×4；2×2×3；四种不同的排列方式，由此分别求得它们的表面积即可解答问题． 解答：解：第一种排列方法1×1×12时：长方体的棱长分别为：12厘米，12×6=72厘米，6 厘米， 3 耐心 细心 责任心 则其表面积为：（72×6+72×12+12×6）×2， =（432+864+72）×2， =1368×2， =2736（平方厘米）； 第二种排列方法1×2×6时，长方体的棱长分别为：12厘米，6×2=12厘米，6×6=36厘米， 则其表面积为：（12×12+12×36+12×36）×2， =（144+432+432）×2， =1008×2， =2016（平方厘米）， 第三种排列方法1×3×4时，长方体的棱长分别为：12厘米，6×3=18厘米，6×4=24厘米， 则表面积为：（12×18+12×24+18×24）×2， =（216+288+432）×2， =936×2， =1872（平方厘米）， 第四种排列方法2×2×3时，长方体的棱长分别为：12×2=24厘米，6×2=12厘米，6×3=18厘米， 则其表面积为：（24×12+24×18+12×18）×2， =（288+432+216）×2， =936×2， =1872（平方厘米）； 答：采用第三种或第四种排列方法可以使包装用料最省． 点评：12可以写成三个数的乘积的形式为：1×1×12；1×2×6；1×3×4；2×2×3；确定出拼组后 的长方体的长宽高的值是解决本题的关键． 演练方阵 A档（巩固专练） 一．选择题（共15小题） 1．（2010•曲周县）把一个圆柱木料加工成一个等底等高的圆锥体，削去的部分是圆柱的（ ） A． B． C． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥体，也就是圆锥与圆柱等底等高时最大，等底 等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去的体积是圆柱体积的（1﹣）． 解答： 解：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去的体积是圆柱体积的1﹣ 4 耐心 细心 责任心 =． 答：削去的体积是圆柱体积的． 故选：C． 点评： 此题考查的目的是掌握等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据这一关系解决问题． 2．（2011•市南区）棱长是a的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来减少了（ ） A． 4 a B． 2a C． D．2 a2 4a2 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：由题意得：减少部分是这个正方体的两个面的面积，由此解答出正确的结果，即可得 出正确答案． 解答： 解：a×a×2=2a2（平方厘米）； 答：长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了2a2平方厘米． 故选：D． 点评：此题抓住正方形拼组成长方形表面积变化的特点即可进行解答． 3．（2011•满洲里市）一个长方体被挖掉一小块（如图）下面说法完全正确的是（ ） A． 体 积减少，表面积也减少 B． 体积减少，表面积增加 C． 体积减少，表面积不变 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：从顶点上挖去一个小长方体后，体积明显的减少了；但表面减少了长方体3个不同的 面的面积，同时又增加了3个切面，然后据此解答即可 解答：解：从顶点上挖去一个小长方体后，体积减少了； 表面减少了长方体3个不同的面的面积，同时又增加了3个切面，即相当于相互抵消，实际上表面积不变； 所以体积减少，表面积不变． 故选：C． 点评：本题关键是理解挖去的小长方体是在什么位置，注意知识的拓展：如果从顶点挖而且 没有挖透那么体积变小，表面积不变；如果从一个面的中间挖而且没有挖透那么体积变小，表面积变大；如果从把两个顶点部分都挖去那么体积变小，表面积也变小． 5 耐心 细心 责任心 4．（2011•新泰市）两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积（ ） A． 扩 大 B． 减少 C． 不变 考点：简单的立方体切拼问题；面积及面积的大小比较． 分析：一个正方体有六个面，两个有12个面，拼成长方体后少了两个面，还剩10个面；据 此解答． 解答：解：因为拼成长方体后少了2个面，所以拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的 表面积之和减少了． 故选：B． 点评：此题考查学生对正方体表面积的认识，以及空间想象力． 5．（2011•济源模拟）把4个体积为1立方厘米的正方体木块拼成一个长方体．则拼成的长方体的表面积最大是（ ）平方厘米． A． 1 6 B． 18 C． 20 D． 24 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 分析：把4个体积为1立方厘米的正方体木块拼成一个长方体， 有两种不同的拼组方法：（1）4×1排列：长宽高分别为4厘米、1厘米、1厘米，（2）2×2排列：长宽高分别为：2厘米、2厘米、1厘米，由此利用长方体的表面积公式分别计算出它们的表面积即可进行选择． 解答：解： （1）4×1排列：长宽高分别为4厘米、1厘米、1厘米， 表面积为：（4×1+4×1+1×1）×2， =（4+4+1）×2， =9×2， =18（平方厘米）， （2）2×2排列：长宽高分别为：2厘米、2厘米、1厘米， 表面积为：（2×2+2×1+2×1）×2， =（4+2+2）×2， =8×2， =16（平方厘米）， 答：拼成的长方体的表面积最大是18平方厘米． 故选：B． 点评：根据4个小正方体拼组长方体的方法， 得出两种不同的排列方法是解决此类问题的关键． 6．（2012•武胜县）把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了（ ）平方分米． A． 4 B． 8 C． 16 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体， 表面积正好减少了2个2×2的小正方体的面，由此计算出减少的表面积即可选择． 6 耐心 细心 责任心 解答：解：2×2×2=8（平方分米） ， 答：这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了8平方分米． 故选：B． 点评：两个正方体拼成一个长方体，表面积减少2个正方体的面． 7．（2012•宁波）有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体表面积和原来的表面积相比较，（ ） A． 大 了 B． 小了 C． 不变 D． 无法确定 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：根据观察可得：挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形 的表面积与原正方体的面表积是相等的． 解答：解：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相 等的， 因此，剩下图形的表面积与原来小正方体的表面积大小不变． 故选：C． 点评：本题主要考查正方体的截面．挖去的正方体中相对的面的面积都相等． 8．（2012•威宁县）如图，把一个长宽高分别是15厘米、10厘米、5厘米的长方体木块平均分成三块小长方体后，表面积增加了（ ）平方厘米． A． 5 0 B． 100 C． 200 D． 750 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 分析：根据图形观察，切割后的表面积增加了4个长为10厘米，宽为5厘米的长方体的面 的面积，由此求得增加部分的表面积，即可进行选择． 解答：解：表面积增加了：10×5×4=200（平方厘米） ； 答：表面积增加了200平方厘米． 故选：C． 点评：根据长方体切割特点得出切割后增加的是哪些面，是解决此类问题的关键． 9．（2012•长寿区）在一个棱长为1分米的正方体的8个角上，各锯下一个棱长为1厘米的正方体，现在它的表面积和原来比（ ） 7 耐心 细心 责任心 A． 不 变 B． 减少 C． 增加 D． 无法确定 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：综合题；压轴题． 分析：根据观察可得：挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形 的表面积与原正方体的面表积是相等的． 解答：解：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相 等的， 因此，剩下图形的表面积与原来小正方体的表面积大小不变． 故选：A． 点评：本题主要考查正方体的截面．挖去的正方体中相对的面的面积都相等． 10．（2012•富阳市模拟）把一根底面积是3平方分米圆柱形木头锯成3段，表面积增加了（ ）平方分米． A． 9 B． 12 C． 6 D． 无法计算 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：圆柱形钢材截成相等的3段后，表面积比原来是增加了4个底面的面积，由此即可解 答． 解答：解：3×4=12（平方分米） ， 答：表面积增加了12平方分米． 故选：B． 点评：抓住圆柱的切割特点，得出表面积是增加了4个底面的面积是解决此题的关键． 11．（2013•高碑店市）从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中，拿走一个小正方体，如图，这时它的表面积是（ ）平方厘米． A． 1 8 B． 21 C． 24 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：由题意可知，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，现在图形的表面积 就等于原来大正方体的表面积，大正方体的棱长可求，从而可以求出其表面积． 解答：解： （1+1）×（1+1）×6=24（平方厘米）； 8 耐心 细心 责任心 答：图形的表面积是24平方厘米． 故选：C． 点评：解答此题的关键是明白，拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，则表面 积不变． 12．（2013•龙海市模拟）把一根直径20厘米的圆柱形木头锯成3段，表面积增加（ ）平方厘米． A． 3 14 B． 1256 C． 942 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 分析：锯3段，需要锯2次，每锯一次就增加2个圆柱的底面，那么锯成3段是增加了4个 圆柱的底面，由此利用圆柱的底面积公式求出这个圆柱的底面积，即可解决问题． 解答： 解：3.14××4， =3.14×100×4， =1256（平方厘米）； 答：表面积增加了1256平方厘米． 故选：B． 点评：抓住圆柱的切割特点，找出增加了的面，是解决此类问题的关键． 13．（2013•华亭县模拟）把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥体，削去的体积是圆柱体积的（ ） A． B． 2倍 C． 3倍 D． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥体，也就是圆锥与圆柱等底等高时最大，等底 等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去的体积是圆柱体积的（1﹣）． 解答： 解：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去的体积是圆柱体积的（1﹣）=． 答：削去的体积是圆柱体积的． 故选：D． 点评： 此题考查的目的是掌握等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据这一关系解决问题． 14．（2014•北京模拟）（ ）个棱长1厘米的小正方体可以拼成一个大正方体． A． 2 B． 4 C． 8 9 耐心 细心 责任心 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体，由 此利用正方体的体积公式即可计算得出需要的小正方体的总个数． 解答：解： 利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体， 所以拼组大正方体至少需要小正方体：2×2×2=8（个）， 故选：C． 点评：此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用． 15．（2011•瑞安市）把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（ ） A． B． C． 2倍 D． 3倍 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的3倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆 柱等底等高，削去了两个圆锥的体积，也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍；据此选择． 解答：解：因为削出的最大的圆锥与圆柱等底等高， 所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以削去部分的体积就是圆锥的体积的2倍． 故选：C． 点评：此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用． 抓住圆柱内最大的圆锥的特点是解决此类问题的关键． 二．填空题（共13小题） 16．将一个表面涂有蓝色的长方体分割成若干个1立方厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体只有3块．两面涂色的小正方体有 20 个．原来长方体的体积是 45 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积． 分析：每个小正方体的棱长都是1厘米，由“其中没有涂色的小正方体只有3块”可知这个长 方体的长是3+2=5厘米，宽和高都是1+2=3厘米，2面涂色的小正方体都在长方体的每条棱长上，由此即可解决问题． 解答：解：2面涂色的小正方体有：3×4+1×4+1×4=12+4+4=20（个） ， 原来长方体的体积为：（3+2）×（1+2）×（1+2）=5×3×3=45（立方厘米）， 答：两面涂色的小正方体有20个．原来长方体的体积是45立方厘米． 故答案为：20；45． 点评：抓住长方体切割正方体的特点， 以及表面没有涂色的正方体都在长方体的内部的特点即可解决问题． 17．把一根长10分米的圆柱形铁棒锯成三段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了0.36平方分米，这根圆柱形棒的体积是 0.9 立方分米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 分析：由题意知，把圆柱形铁棒锯成3段，则锯了3﹣1=2次，增加了4个与原来底面积相 耐心 细心 责任心 1 0 等的圆形截面，表面积比原来增加了0.36平方分米，用0.36÷4可求得一个圆形截面的面积，再乘铁棒的长即得这根棒的体积． 解答：解：0.36÷[2×（3﹣1）]×10， =0.36÷4×10， =0.09×10， =0.9（立方分米）； 答：这根棒的体积是0.9立方分米； 故答案为：0.9． 点评：解答此题要注意：锯成3段则锯了2次，增加了4个截面，0.36平方分米是4个截面 的面积． 18．把三个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体后，它的表面积是 56 平方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：棱长是2厘米的正方体的一个面的面积是2×2=4平方厘米； 三个正方体拼组成一个长方体后，表面积减少了4个正方体的面，由此即可计算出这个长方体的表面积解答问题． 解答：解：长方体的表面积为： 2×2×6×3﹣2×2×4 =72﹣16 =56（平方厘米） 答：它的表面积是56平方厘米． 故答案为：56． 点评：抓住3个正方体拼组长方体的方法， 得出表面积减少部分的面是解决此类问题的关键． 19．把一根长1米、底面直径2分米的圆柱形钢材截成2段，表面积增加 6.28 平方分米，原钢材的体积是 31.4 立方分米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：表面积增加部分就是指截取后增加的底面的面积；根据圆柱的截取方法可知，截成2 个小圆柱，需要截取1次，那么增加了2个底面直径为2分米的圆柱的底面积，由此利用圆柱的底面积公式代入数据即可求出底面积，然后再乘高就是体积． 解答： 解：3.14×（2÷2）2×2 =3.14×1×2 =6.28（平方分米） 1米=10分米 3.14×（2÷2）2×10 =3.14×10 =31.4（立方分米） 答：表面积增加了6.28平方分米．原钢材的体积是31.4立方分米． 故答案为：6.28，31.4． 点评：本题考查了圆柱的体积表面积知识的灵活应用，正确找出增加的面是解决本题的关 耐心 细心 责任心 1 1 键． 20．如图是由棱长1厘米的小正方体木块搭成的，这个几何体的表面积是 A 平方厘米．至少还需要 D 块这样的小正方体才能搭成一个大正方体． A.36 B.30 C.18 D.17． 考点：简单的立方体切拼问题；不规则立体图形的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：（1）观察图形可知：从上面和下面看：分别有6个小正方体的面；从左面和右面看： 分别有6个小正方体的面；从前面和后面看分别有6个小正方体的面，1个小正方体的面的面积是1×1=1平方厘米，由此即可求出这个图形的表面积； （2）观察图形可知：拼组后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，由此可以求出拼组后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体个数即可． 解答：解： （1）（6+6+6）×2×1×1， =18×2×1×1， =36（平方厘米）； （2）3×3×3﹣（6+3+1）， =27﹣10， =17（个）； 答：由棱长为1厘米的小正方体搭拼成的，它的表面积是36平方厘米；在此基础上至少还需要17个这样的小正方体，才能搭拼成一个正方体． 故选：A，D． 点评：此题主要考查了学生通过观察立体图形解决问题的能力， 根据已知图形确定出拼组后的正方体的最小棱长是解决本题的关键． 21．（2013•中宁县模拟）把一个圆柱体削成最大的圆锥体，削去的部分是圆锥体体积的． × ．（判断对错） 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍，把圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与圆 柱等底等高，削去了两个圆锥的体积．也就是削去部分的体积是圆锥体积的2倍；据此判断． 耐心 细心 责任心 1 2 解答： ：V圆柱=3V圆锥 解（V圆柱﹣V圆锥）÷V圆锥， =2V圆锥÷V圆锥， =2； 答：削去部分的体积是圆锥体积的2倍． 故答案为：×． 点评：此题考查等底等高的圆柱和圆锥体积间的关系． 22．一个大正方体由若干个小正体体组成，在大正方形的表面涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由 343 小正方体组成． 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：一面涂色的正方体的个数为150个，则正方体的一个面的中间就有150÷6=25个，因 为5×5=25，所以这个大正方体的棱长为5+2=7，则这个大正方体中的小正方体的总个数为7×7×7=343个． 解答：解：150÷6=25，因为5×5=25， 所以大正方体的棱长为：5+2=7， 则小正方体的总个数为：7×7×7=343（个）， 答：这个大正方体是由343个小正方体组成的． 故答案为：343． 点评：根据大正方体的表面涂色的特点， 得出一面涂色的小正方体都在大正方体的6个面的中间，并且每条棱长上的小正方体是2面涂色的，顶点处的小正方体是3面涂色的，抓住这个特点即可解决此类问题． 23．一个长方体，如图，从这个长方体上切一个长宽高为连续自然数的最大长方体，第二次从剩下部分再切一个长宽高为连续自然数的最大长方体，第三次按第二次的方法去切，最后得到的长方体的体积是 6 ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积． 分析：第一次切割下的最大长方体的长宽高分别是5、6、7；则剩下的长方体的长宽高分别 是：5、6、3；第二次切割下来的最大长方体是长宽高分别为：5、4、3，则剩下的长方体的长宽高分别为：5、2、3；第三次切割下来的最大长方体的长宽高分别是4、3、2，则剩下的长方体的长宽高分别为：1、2、3，由此利用长方体的体积公式即可计算． 耐心 细心 责任心 1 3 解答：解：第一次切割下的最大长方体的长宽高分别是5、6、7；则剩下的长方体的长宽高 分别是：5、6、3； 第二次切割下来的最大长方体是长宽高分别为：5、4、3，则剩下的长方体的长宽高分别为：5、2、3； 第三次切割下来的最大长方体的长宽高分别是4、3、2，则剩下的长方体的长宽高分别为：1、2、3； 所以：1×2×3=6， 答：最后得到的长方体的体积是6， 故答案为：6． 点评：此题抓住长方体的切割特点， 确定出每次切割的长宽高为连续自然数的最大长方体是解决本题的关键． 24．把一个棱长9cm的大正方体切成棱长3cm的小正方体，可以得到 27 个这样的小正方体，这些小正方体的表面积比原来一个大正方体的表面积增加了 972 cm2． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：（1）我们可以用大正方体的体积除以小正方体的体积就是得到小正方体的个数． （2）我们可以把正方体看做是棱长9厘米豆腐，9÷3切3块要2刀，就多出4个面，这样要沿着长宽高各切2刀共6刀，增加了12个面．每个面的面积是9×9=81平方厘米，进一步求出增加的面积． 解答：解： （1）9×9×9÷（3×3×3） =729÷27 =27（个） （2）9×9×[2×（3﹣1）×3] =81×12 =972（平方厘米） 答：可以得到27个小正方体．表面积增加了972平方厘米． 故答案为：27、972． 点评：运用大正方体体积除以小正方体的体积得到小正方体的个数；一刀出现2个面，沿着 长切2刀就多出4面，同理沿着宽、高切又各多出4个面，所以共多出12个面，由此可以求得增加的面积． 25．一个正方体，从中间截开后表面积增加18平方米，这个正方体的们体积是 27 立方米． 考点：简单的立方体切拼问题． 耐心 细心 责任心 1 4 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个正方体横着截开，表面积比原来增加了两个正方体的面的面积，由此即可求出 这个正方体一个面的面积，进而求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式解答． 解答：解：18÷2=9（平方米） 因为3×3=9 所以正方体的棱长是3米 所以正方体的体积是：3×3×3=27（立方米） 答：这个正方体的体积是27立方米． 故答案为：27． 点评：抓住正方体的切割特点和增加的表面积，求出正方体一个面的面积是解决本题的关 键． 26．（2007•古塔区）用8块小正方体拼成一个大正方体，任意拿去一个小正方体，表面积一定会缩小． 错误 ．（判断对错） 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 分析：根据立方体的表面积的定义，利用画图的方法即可分析解答． 解答：解：如图，用8块小正方体拼成一个大正方体，任意拿去一个小正方体，表面积减少 3个面的同时，又多出了3个面， 所以前后表面积的大小没变． 所以原题说法错误． 故答案为：错误． 点评：此题考查了立体图形的表面积的计算方法的灵活应用． 27．（2010•泸西县模拟）一个正方体切成8个相等的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来正方体的表面积增加了 1 倍． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 分析：把一个大正方体切成8个相等的小正方体，需要切3次，每切一次都增加2个原正方 体的面，由此可知共增加了2×3=6个原正方体的面，设原正方体的每个面的面积是1，由此即可解答． 解答：解：设原正方体的每个面的面积是1， 则切成8个相等的小正方体的表面积之和是6+6=12， 12÷6=2， 答：这些小正方体的表面积之和比原来正方体的表面积增加了1倍． 故答案为：1． 点评：抓住正方体的切割特点得出切割后的表面积增加部分，是解决此类问题的关键． 耐心 细心 责任心 1 5 28．（2011•万盛区模拟）至少要4个完全相同的小正方体才能拼成一个更大的正方体． 错误 ．（判断对错） 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：小正方体拼组大正方体时，每个棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答． 解答：解：小正方体拼组大正方体时，每个棱长上至少需要2个小正方体， 所以拼组一个大正方体至少需要小正方体：2×2×2=8（个）， 所以原题说法错误． 故答案为：错误． 点评：此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用． B档（提升精练） 一．选择题（共15小题） 1．（2013•浠水县） A． 与下面立体图形拼起来，就能组B． ．（ ） C． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：观察图形可知，已知的图形是两列三层，下面两层都是2×2排列的小正方体，上面一 层只有1个小正方体；拼组后的长方体也是两列三层，下面两层不变，上层比原来需要增加3个小正方体，据此即可选择． 解答： 解：根据题干分析可得与下面立体图形B，拼起来，就能组． 故选：B． 点评：结合拼组前后的图形的特征，即可分析选择． 2．（2013•陕西）一个立体图形，从前面和左面看到的形状均如图所示，搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小立方体． A． 4 B． 3 C． 6 D． 5 考点：简单的立方体切拼问题；从不同方向观察物体和几何体． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：因为从前面看，这个图形一共有3列，其中中间一列是2层，最少是1+2+1=4个小正 方体；要使小正方体的个数最少，则把中间一列2个小正方体向后平移一行，把左边 耐心 细心 责任心 1 6 一列1个小正方体或右边一列一个小正方体向前平移一行，则即可保证从左面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个靠中间，符合题意，据此即可解答问题． 解答：解：根据题干分析可得： 1+2+1=4（个） 答：最少需要4个． 故选：A． 点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何体．是培养学生的观察、分析和空间想象能 力．注意观察的方法，不能从立方体的棱或顶点观察． 3．（2013•广州模拟）用6块大小一样的正方体木块，拼成下面四种立体图形，其中表面积最大的是（ ） A． B． C． D． 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：把一个小正方体的棱长看作1，A的表面积为6×1×4+1×1×2=26，B、C的表面积为 3×2×2+3×1×2+2×1×2=22，D的表面积为6×2+3×4=24． 解答：解：小正方体的棱长为1， A的表面积为6×1×4+1×1×2=26， B、C的表面积为3×2×2+3×1×2+2×1×2=22， D的表面积为6×2+3×4=24． 故选A． 点评：此题关键是小立方体拼接后的图形的表面积是哪些部分． 4．（2014•东莞）将一个长30厘米，宽20厘米，高10厘米长方体木块分割成两个完全相同的小长方体后，它的表面积最多可以增加（ ）平方厘米． A． 2 000 B． 1800 C． 1600 D． 1200 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 分析：要使切割后的表面积增加的最多， 则可以沿平行于原来长方体的最大面30×20进行切割，这样切割后，表面积比原来增加了2个30×20的面的面积． 解答：解：30×20×2=1200（平方厘米） ； 答：它的表面积最多可以增加1200平方厘米． 故选：D． 点评：要使表面积增加最多，则平行于最大面进行切割，要使表面积增加最少，沿平行于最 小面进行切割． 5．（2014•临川区模拟）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆柱的体积和削去部分的体积比是（ ） A． 2 ：3 B． 1：3 C． 2：1 D． 3：2 考点：简单的立方体切拼问题；比的意义． 耐心 细心 责任心 1 7 专题：比和比例；立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱削成最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱是等底等高的，则圆锥的体积是圆柱 的体积的，把圆柱的体积看做单位“1”，由此即可得出削去部分的体积是圆柱体积的1﹣=，据此即可解答． 解答： 解：圆柱体积：削去部分体积=1：（1﹣）=1：=3：2， 故选：D． 点评： 解答此题的主要依据是：圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的． 6．（2014•北京模拟）（ ）个棱长1厘米的小正方体可以拼成一个大正方体． A． 2 B． 4 C． 8 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体，由 此利用正方体的体积公式即可计算得出需要的小正方体的总个数． 解答：解： 利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体， 所以拼组大正方体至少需要小正方体：2×2×2=8（个）， 故选：C． 点评：此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用． 7．（2014•湖南模拟）把一个底面周长是9.42分米，高6分米的圆柱，沿底面直径切成两个半圆柱后，表面积共增加了（ ）平方分米． A． 3 6 B． 18 C． 7.065 D． 14.13 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 分析：沿底面直径切成两个半圆柱后，表面积增加的部分是指：增加了两个以直径和高为边 长的长方形的面积，由此只要根据底面周长求得直径的长度，利用长方形的面积公式即可求出这个圆柱切开后增加的表面积，从而进行选择． 解答：解：圆柱的底面直径为：9.42÷3.14=3（分米） ， 则切割后的增加部分的表面积为：3×6×2=36（平方分米）； 答：表面积共增加了36平方分米． 故选：A． 点评：根据圆柱的切割特点， 得出增加部分的面积是指以这个圆柱的高和底面直径为边长的两个长方形的面积是解决本题的关键． 8．（2014•宿城区模拟）三个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（ ） A． 1 8平方分米 B． 16平方分米 C． 14平方分米 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 耐心 细心 责任心 1 8 分析：三个棱长为1分米的小正方体拼成的长方体的长宽高分别为3分米、1分米、1分米， 根据长方体的表面积公式可以解决问题． 解答：解： （3×1+3×1+1×1）×2=14（平方分米）； 故选：C． 点评：此类题目三个小正方体拼成长方体只有一种拼法． 9．（2014•北京模拟）一个长方体木箱，从里面量长9分米，宽4分米，高6分米，这个木箱里面能完整地放入（ ）个棱长是3分米的正方体木块． A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 考点：简单的立方体切拼问题． 分析：借助长方体分割正方体的方法， 以长为边能放：9÷3=3个；以宽为边能放：4÷3=1个…1分米；以高为边能放：6÷3=2个，由此即可求得能放入长方体木箱内的正方体的块数． 解答：解：以长为边能放：9÷3=3（个） ， 以宽为边能放：4÷3=1（个）…1（分米）， 以高为边能放：6÷3=2（个）， 所以一共能放：3×1×2=6（个）； 故选：A． 点评：此题考查了长方体分割正方体的方法的灵活应用． 10．（2014•长沙模拟）一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少18.84平方厘米．这个圆柱的体积减少（ ）立方厘米． A． 9 .42 B． 37.68 C． 18.84 D． 12.56 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：由题意知，截去的部分是一个高为3厘米的圆柱体，并且表面积减少了18.84平方厘 米，其实减少的面积就是截去部分的侧面积，由此可求出圆柱体的底面周长，进一步可求出底面半径，再利用V=sh求得截去的小圆柱体的体积，即大圆柱体减少的体积． 解答：解：18.84÷3=6.28（厘米） ； 6.28÷3.14÷2=1（厘米）； 3.14×12×3=9.42（立方厘米）； 答：这个圆柱体积减少9.42立方厘米． 故选：A． 点评：此题是复杂的圆柱体积的计算，要明白：沿高截去一段后，表面积减少的部分就是截 去部分的侧面积． 11．（2014•岚山区模拟）用棱长是1厘米的正方体拼成一个较大的正方体，至少需要（ ）块． A． 4 B． 8 C． 16 D． 32 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：用小正方体块拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可 耐心 细心 责任心 1 9 解答问题． 解答：解：用小正方体块拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体， 所以拼成一个大正方体至少需要的小正方体的块数为：2×2×2=8（块）． 答：至少需要8块． 故选：B． 点评：此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用． 12．（2014•温江区模拟）如图是由5个棱长为1厘米的正方体搭成的，将这个正方体的表面涂上红色，其中只有三面涂上红色的正方体有（ ）个． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：只有三面涂上红色的正方体，即有3个面露在外部的正方体，分析图形可得，只有下 层最右边的1个正方形有3个面露在外部，据此解答即可． 解答：解：由分析可得，只有下层最右边的1个正方形有3个面露在外部， 所以只有三面涂上红色的正方体有1个． 故选：A． 点评：此题考查了学生观察图形和分析解决问题的能力， 抓住小正方体露在外部的面即是涂色面是解决问题的关键． 13．（2014•师宗县模拟）将长为3米，体积为12立方米的圆柱体据成两段，它的表面积增加了（ ）平方米． A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：每截一次，就增加2个圆柱的底面，截成2段，需要截2﹣1=1次，所以一共增加了 2个圆柱的底面；由此解答即可． 解答：解：12÷3×2 =4×2 =8（平方米） 答：它的表面积增加了8平方米． 故选：D． 点评：根据圆柱的切割特点得出增加的表面积，即两个底面的面积和，是解答此题的关键． 14．（2014•江东区模拟）一个体积25厘米×30厘米×60厘米的箱子里最多能装进棱长 为1分米的立方体 （ ） A． 4 5个 B． 30个 C． 72个 D． 36个 耐心 细心 责任心 2 0 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：体积为25×30×60的箱子的长宽高分别为：25厘米=2.5分米、30厘米=3分米、60厘 米=6分米，沿长方体箱子的长边可以放置：2.5÷1≈2个，沿箱子的宽边可以放置：3÷1=3个，沿高可以放置：6÷1=6个，由此即可解答． 解答：解：25厘米=2.5分米、30厘米=3分米、60厘米=6分米， 2×3×6=36（个）， 答：最多装入36个棱长1分米的小正方体． 故选：D． 点评：根据题干， 先得出长方体的长宽高处可以装下的小正方体的个数，是解决本题的关键． 15．（2014•温江区模拟）把一根长5米的圆柱形木枓截成相同的4段，表面积增加了60平方分米，这根木料的体积是（ ）立方分米． A． 5 0 B． 100 C． 500 D． 1000 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：截成4段，需要截4﹣1=3次，每截1次，表面积就增加2个底面的面积，所以表面 积增加了60平方分米是增加了6个圆柱的底面积，由此利用除法的意义即可求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答． 解答：解：5米=50分米 底面积：60÷6=10（平方分米） 10×50=500（立方分米） 答：这根木料的体积是500立方分米． 故选：C． 点评：解答本题的关键是理解截的次数=截的段数﹣1，每截一次增加2个底面，由此求出底 面积，还应注意单位统一． 二．填空题（共13小题） 16．（2014•宿城区模拟）把四个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，表面积最小是 16平方分米 ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：将4个正方体排成2排，且每排两个时，拼成的长方体的表面积最小，这个长方体的 长宽高分别是2分米、2分米、1分米，从而代入长方体的表面积公式即可求出其表面积． 解答：解：表面积最小是： （2×2+2×1+2×1）×2， =8×2， =16（平方分米）， 答：表面积最小是16平方分米． 故答案为：16平方分米． 点评：解答此题的关键是明白：将4个正方体排成2排，且每排两个时，拼成的长方体的表 耐心 细心 责任心 2 1 面积最小． 17．（2014•广州模拟）一个圆柱体底面积是6平方厘米，高3厘米，把它加工成最大的圆锥体，应削去 12 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析： 由题意可知：这个最大的圆锥与圆柱等底等高，则圆锥的体积是圆柱的体积的 ，则削去部分的体积是圆柱的体积的 ，由此即可解答． 解答： 解：6×3×（1﹣） =18× =12（立方厘米） 答：应削去12立方厘米． 故答案为：12． 点评： 解答此题的主要依据是：圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的 ． 18．（2014•蓝田县模拟）一个体积为90立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，削去的体积是 60 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆柱和圆锥是等底等高的，则圆锥的体积是圆 柱的，则削掉部分的体积就是这个圆柱的． 解答： 解：90×=60（立方厘米）， 答：削去的体积是 60立方厘米． 故答案为：60． 点评：此题考查了圆柱内最大的圆锥的特点以及等底等高的圆柱与圆锥的体积的三倍关系 的灵活应用． 19．（2014•蓝田县模拟）把棱长6厘米的正体木块，削成一个最大的圆锥，这个圆锥体的体积是 56.52立方厘米 ． 考点：简单的立方体切拼问题；圆锥的体积． 分析：正方体内最大的圆锥的底面直径和高都等于原正方体的棱长， 由此利用圆锥的体积公式代入数据即可解答． 解答： 解：×3.14××6， 耐心 细心 责任心 2 2 =×3.14×9×6， =56.52（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是56.52立方厘米． 故答案为：56.52立方厘米． 点评：此题考查了正方体内最大圆锥的特点以及圆锥的体积公式的计算应用． 20．（2014•顺德区模拟）一个长方体木块的长、宽、高分别是8厘米，4厘米，5厘米．如果用它锯成1个最大的正方体，体积要比原来减少 60 %． 考点：简单的立方体切拼问题；百分数的实际应用． 专题：分数百分数应用题；立体图形的认识与计算． 分析：抓住正方体的特征，这个最大的正方体的棱长就是这个长方体最短的棱长，利用长方 体和正方体的体积公式即可解决问题． 解答：解：5×4×8=160， 4×4×4=64， （160﹣64）÷160， =96÷160， =0.6， =60%， 答：体积要比原来减少60%． 故答案为：60． 点评：正确找出这个最大正方体的棱长是解决本题的关键． 21．（2014•玉溪模拟）把体积是960立方厘米的圆柱形木块，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是 640立方厘米 ． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：“把体积是960立方厘米的圆柱形木块，削成一个最大的圆锥，”则这个圆柱和圆锥是 等底等高的，所以圆锥的体积是圆柱的体积的，所以削去部分的体积就是这个圆柱的体积的，由此即可计算选择． 解答： 解：960×=640（立方厘米）， 答：削去部分的体积是640立方厘米． 故答案为：640立方厘米． 点评：此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用． 22．（2014•民乐县模拟）一根长1.5米的圆柱形木料，锯掉4分米长的一段后，表面积减少了50.24平方分米，这根木料原来的体积是 188.4 立方分米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 耐心 细心 责任心 2 3 分析：表面积减少部分是长为4分米的圆柱的侧面积， 利用圆柱的侧面积公式可以求得这个圆柱的底面周长，从而求得它的半径，再利用圆柱的体积公式即可解答． 解答：解：1.5米=15分米， 圆柱的底面半径为：50.24÷4÷3.14÷2=2（分米）， 这根木料的体积是：3.14×22×15=188.4（立方分米）， 答：这根木料的体积是188.4立方分米． 故答案为：188.4． 点评：抓住减少的50.24平方分米的表面积是长为4分米的圆柱的侧面积，从而求得半径是 解决本题的关键． 23．（2014•岚山区模拟）一根长2米，横截面直径是6厘米的木棍，截成4段后表面积增加了 169.56平方厘米 ，它原来的体积是 5652立方厘米 ． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 分析：（1）一根圆柱截成4段后表面积增加了6个圆柱的底面的面积，由此根据圆柱的底 面积公式即可解决问题； （2）圆柱的体积=底面积×高，代入数据即可解答． 解答： 解：圆柱的底面积是：3.14×=3.14×9=28.26（平方厘米）， 截成4段后表面积增加了：28.26×6=169.56（平方厘米）； 2米=200厘米， 所以它原来的体积是：28.26×200=5652（立方厘米）； 答：截成4段后表面积增加了169.56平方厘米，它原来的体积是5652立方厘米． 故答案为：169.56平方厘米；5652立方厘米． 点评：此题考查了圆柱的底面积与体积公式的计算应用， 抓住圆柱的切割特点得出截成4段后增加的表面积是6个圆柱的底面的面积是解决本题的关键． 24．（2014•楚州区）两个一样的长方体，拼成三种不同形状新的长方体后，表面积分别比原来减少48平方厘米、30平方厘米、80平方厘米，原来每个长方形的表面积是 158 平方厘米，体积是 120 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：（1）两个长方体拼成一个大长方体后，表面积是比原来减少了原长方体的两个面： 据此可以得出原长方体最大的两个面的面积是80平方厘米，最小的两个面的面积是48平方厘米，另外两个面的面积是60平方厘米，把这几个面加起来，就是其中一个小长方体的表面积． （2）观察48÷2=24、30÷2=15、80÷2=40，因为15=3×5；且：24=3×8；40=5×8，据此可得长方体的长宽高分别是8厘米，5厘米，3厘米，据此即可求出长方体的体积． 解答：解： （1）80+30+48=158（平方厘米）， （2）48÷2=24（平方厘米）； 30÷2=15（平方厘米）； 80÷2=40（平方厘米）； 耐心 细心 责任心 2 4 因为15=3×5；且：24=3×8；40=5×8， 所以长方体的长宽高分别是8厘米，5厘米，3厘米， 8×5×3=120（立方厘米）， 答：原来每个长方体的表面积是158平方厘米，体积是120立方厘米． 故答案为：158；120． 点评：（1）解答此题的关键是明确增加的不同的面，正好分别是原来的小长方体的各个相 对的面的面积． （2）利用分解质因数的方法，把24、15、40写成三个数字两两乘积的形式，即可求得这个长方体的长宽高，再利用体积公式计算即可解答． 25．（2014•高台县模拟）把一个棱长是10分米的正方形木块，削成一个最大的圆柱，需要削去 215 立方分米的木块． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：首先要明确的是，削成的最大圆柱的底面直径和高都应等于正方体的棱长，依据“圆 柱的体积=πr2h”求出圆柱的体积，用正方体的体积减去最大圆柱的体积即可得到答案． 解答： 解：10×10×10﹣3.14×（10÷2 ）2×10， =1000﹣3.14×25×10， =1000﹣785， =215（立方分米）； 答：要削去的木块体积是215立方分米． 故答案为：215． 点评：解答此题的关键是： 明确削成的最大圆柱和圆锥的底面直径和高都应等于正方体的棱长，用到的知识点：正方体、圆柱、圆锥的体积计算方法． 26．（2014•广州模拟）用棱长1厘米的小正方体木块堆一个棱长1分米的大正方体，需要100块这样的小正方体． × ．（判断对错） 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：先根据正方体的体积计算公式“V=a3”计算出棱长是10厘米和棱长是1厘米的正方体 的体积，然后用“大正方体的体积÷小正方体的体积”即可得出结论； 解答：解： （1）1分米=10厘米， （10×10×10）÷（1×1×1） =1000÷1 =1000（块） 答：需要1000块这样的小正方体； 故答案为：×． 点评：解答此题的关键是先根据正方体的体积计算公式求出大小正方体的体积， 然后根据题意进行解答即可得出结论． 27．（2014•长沙模拟）一个长方体，如果沿水平方向切开，得到两个完全相同的正方体，已知每个正方体的表面积是60平方厘米，则这个长方体的表面积是 100 平方厘米． 耐心 细心 责任心 2 5 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：两个正方体拼在一起组成原来的长方体，减少了2个面，所以只要用两个正方体的表 面积之和减去2个面的面积即可． 解答：解：60×2﹣（60÷6）×2 =120﹣20 =100（平方厘米）． 答：这个长方体的表面积是100平方厘米． 故答案为：100． 点评：解答此题应明确把一个长方体分成n个小长方体，切n﹣1次，增加2（n﹣1）个面． 28．（2014•江油市模拟）把高为8cm的圆柱体，切拼成个近似的长方体，表面积比原来增加了48cm2，圆柱的直径是 6 cm． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：把一个高为8厘米的圆柱割拼成一个近似长方体，增加表面积是2个长为高、宽为圆 柱底面半径的长方形面积和，可用增加表面积÷2÷高，求出底面半径，半径乘以2即为直径．据此解答即可． 解答：解：48÷2÷8=3（厘米） 2×3=6（厘米） 答：圆柱的直径是6cm． 故答案为：6． 点评：解答本题的关键是分析出增加的表面积是2个长为高、 宽为圆柱底面半径的长方形面积和． C档（跨越导练） 一．选择题（共4小题） 1．（2013•陕西）一个立体图形，从前面和左面看到的形状均如图所示，搭成这样的立体图形，最少需要（ ）个小立方体． A． 4 B． 3 C． 6 D． 5 考点：简单的立方体切拼问题；从不同方向观察物体和几何体． 专题：立体图形的认识与计算． 耐心 细心 责任心 2 6 分析：因为从前面看，这个图形一共有3列，其中中间一列是2层，最少是1+2+1=4个小正 方体；要使小正方体的个数最少，则把中间一列2个小正方体向后平移一行，把左边一列1个小正方体或右边一列一个小正方体向前平移一行，则即可保证从左面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个靠中间，符合题意，据此即可解答问题． 解答：解：根据题干分析可得： 1+2+1=4（个） 答：最少需要4个． 故选：A． 点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何体．是培养学生的观察、分析和空间想象能 力．注意观察的方法，不能从立方体的棱或顶点观察． 2．（2011•河西区）一个长方体木块截下一段长3分米的小长方体后，剩余部分正好是一个正方体，正方体的表面积比原来的长方体少24平方分米，原来长方体的体积是（ ）立方分米． A． 2 0 B． 45 C． D． 20或45 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：根据题干分析可得：切下长3分米的小长方体后，剩下的正方体的表面积比原来减少 了4个以正方体的棱长和3分米为边长的面的面积，由此利用减少的表面积24平方分米，根据长方形的面积公式即可求出这个正方体的棱长，从而得出原长方体的长宽高，再利用长方体的体积公式即可解答． 解答：解：切割后的正方体的棱长是：24÷4÷3=2（分米） ， 所以原长方体的体积是：（2+3）×2×2=20（立方分米）， 故选：A． 点评：抓住长方体的切割特点， 得出切割后减少了的4个面，从而求出剩下的正方体的棱长，是解决本题的关键． 3．（2013•芜湖县）用长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体来拼一个实心的正方体，至少需要（ ）个这样的长方体． A． 4 B． 24 C． 48 D． 72 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：立体图形的认识与计算． 分析：先求出4、3、2的最小公倍数是12，由此得出拼成的这个正方体的棱长最小是12厘 米，据此解答即可． 解答：解：4、3、2的最小公倍数是12， 所以拼成的这个正方体的棱长最小是12厘米， （12÷4）×（12÷3）×（12÷2）， =3×4×6， =72（块）， 答：至少需要这样的木块72块． 故选：D． 耐心 细心 责任心 2 7 点评：根据题干，利用长宽高的最小公倍数确定出拼组后的正方体的棱长是解决本题的关 键． 4．（2014•涟源市模拟）一个正方体木块，表面积是200平方厘米，如果把它平均截成体积相等的8个小正方体，那么每个小正方体的表面积是（ ）平方厘米． A． 2 5 B． C． D． 50 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：立体图形的认识与计算． 分析： 根据正方体的表面积公式可得：大正方体的一个面的面积是平方厘米，把它切割成8个相同的小正方体后，每个小正方体的面的面积就是大正方体的一个面的面积的，由此可得小正方体的一个面的面积是的表面积． 解答： 解：××6 =×6× ×平方厘米，再乘6就是每个小正方体=200× =50（平方厘米） 答：每个小正方体的表面积是50平方厘米． 故选：D． 点评：根据大正方体切割成8个小正方体的方法， 得出每个小正方体一个面的面积是大正方体的一个面的面积的是解决本题的关键． 二．填空题（共15小题） 5．（2007•慈溪市）把一根横截面面积是706.5平方厘米，长1.2米的圆柱形木料削乘一根长方体木料，长方体木料的体积最大是 0.054 立方米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆、圆环的面积；长方体和正方体的体积． 专题：压轴题． 分析：长方体木料的体积=横截面的面积×长；要使长方体木料的体积最大，那么横截面应是 这个圆柱横截面内最大的正方形，设圆柱的横截面的半径为r，则这个最大的内接正方形的面积就是2r×r÷2×2=2r2，由此利用圆柱的横截面面积是706.5平方厘米求出r或r2的值即可解答． 耐心 细心 责任心 2 8 解答：解：设这个圆柱的半径是r，则： 3.14×r2=706.5， r2=706.5÷3.14， r2=225， 所以切割后最大的长方体的横截面面积为： 2×225=450（平方厘米）， =0.045平方米， 则长方体木料的最大体积是：0.045×1.2=0.054（立方米）， 答：长方体木料体积最大是0.054立方米． 故答案为：0.054． 点评：此题考查了长方体的体积公式以及利用圆内接正方形的特点解答问题的方法， 关键是根据r2的值，求出圆内最大正方形的面积． 6．（2007•北塘区）从一个长方体上截下一个体积是108立方厘米的小长方体后，剩下的部分是一个棱长6厘米的正方体．原来这个长方体的表面积是 288 平方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：由题意可知，原长方体的横截面是一个边长为6厘米的正方形，则截下的体积为108 立方厘米的长方体的长是：108÷（6×6）=3（厘米），由此可得原长方体的长是6+3=9（厘米），再利用长方体的表面积公式即可解答． 解答：解：108÷（6×6）=3（厘米） ， 所以原长方体的长是：6+3=9（厘米）， 则表面积是：（9×6+9×6+6×6）×2， =（54+54+36）×2， =144×2， =288（平方厘米）， 答：原来长方体的表面积是288平方厘米． 故答案为：288． 点评：根据长方体切割后剩下的正方体的棱长，分别求出原长方体的长、宽、高是解决本题 的关键． 7．（2008•仪征市）一根长方体木条恰好可以锯成7个完全一样的正方体，所有正方体表面积的和比原来长方体表面积增加了 40 %． 考点：简单的立方体切拼问题；百分数的实际应用；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：根据题意，长方体的宽和高就是小正方体的棱长，假设正方体的棱长为1，那么长方 体的长就是7，由此即可解决问题． 解答：解：假设小正方体的棱长为1，则长方体的长宽高分别为7、1、1， 锯成7个小正方体后，增加了6×2=12（个） 所以增加部分的表面积总和是：1×1×12=12， 长方体的表面积：（7×1+1×1+1×7）×2=30， 12÷30=0.4=40%， 耐心 细心 责任心 2 9 答：所有正方体表面积的和比原来长方体表面积增加了40%． 故答案为：40． 点评：假设小正方体棱长为1，抓住增加的面，是解决本题的关键． 8．（2009•和平区）有甲、乙、丙三个小长方体，甲长方体长3cm、宽2cm、高1cm；乙长方体长2cm、宽2cm、高1cm；丙长方体长2cm、宽1cm、高1cm．同时用上这三个小长方体，最多能拼成 2 种表面积不同的大长方体，它们的表面积分别是 40平方厘米和32平方厘米 ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：根据长方体的拼组特点，这三个长方体拼成一个大长方体的方法有如图： （1）边长为2厘米，1厘米的面连接在一起，组成一个长为3厘米，宽为2厘米，高为1厘米的长方体；（2）先把乙和丙合并一起，再与甲拼组：长为3厘米，宽为2厘米，高为2厘米的长方体； 解答：解： （1）（6×2+6×1+2×1）×2， =20×2， =40（平方厘米）； （2）（3×2+3×2+2×2）×2， =16×2， =32（平方厘米）； 答：有2种不同的拼法，它们的表面积分别是40平方厘米和32平方厘米． 点评：根据长方体的边长特点，找出拼组方法是解决此类问题的关键． 9．（2010•河西区）一个长方体木块，长、宽、高分别是10厘米、6厘米和4厘米，把它加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是 125.6 立方厘米；如果这个圆柱的高是一个圆锥高的，并且圆锥的底面积是圆柱底面积的25%，那么圆锥的体积是 47.1 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：（1）根据长方体内最大的圆柱的特点，这个长方体内最大的圆柱的底面直径是4厘 米，高是10厘米；由此利用圆柱的体积公式即可解答； （2）根据题干，设圆柱的高是h，底面积是S，由此可得圆锥的高是h÷=h，底面 耐心 细心 责任心 3 0 积是25%S，由此利用圆锥的体积公式即可解答． 解答： 解：（1）3.14××10=125.6（立方厘米）， 答：这个最大的圆柱的体积是125.6立方厘米． （2）设圆柱的高是h，底面积是S，由此可得圆锥的高是h÷=h，底面积是25%S， 所以圆锥的体积是：×25%S×h， =0.375Sh， =0.375×125.6， =47.1（立方厘米）， 答：这个圆锥的体积是47.1立方厘米． 故答案为：125.6，47.1． 点评：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式以及长方体内最大的圆柱的特点的灵活应用． 10．（2010•冷水滩区）将一个圆柱分成若干等份后，拼成一个近似长方体，这个长方体的高为10厘米，表面积比圆柱多40平方厘米，圆柱的体积是 125.6 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：压轴题． 分析：根据圆柱的切割方法和拼组特点，拼成长方体后表面积正好比圆柱的表面积增加了2 个以圆柱的高为长，以圆柱的底面半径为宽的长方形面；由此可以求得圆柱的底面半径为：40÷2÷10=2厘米，再利用圆柱的体积公式计算． 解答：解：圆柱的底面半径为：40÷2÷10=2（厘米） ， 所以圆柱的体积为：3.14×22×10=125.6（立方厘米）； 答：圆柱的体积是125.6立方厘米． 故答案为：125.6． 点评：抓住圆柱的切割特点和拼组长方体的方法得出增加部分的面， 从而求得圆柱的底面半径是解决本题的关键． 11．（2010•秀屿区）如图，把一个圆柱体切拼成一个长方体，表面积比原来增加了24平方厘米，已知底面的半径是2厘米，相信你一定能求出圆柱体的体积是 75.36 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 耐心 细心 责任心 3 1 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：把一个圆柱切开后拼成一个和它等底等高的近似长方体， 拼成的长方体表面积就比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的宽和圆柱的底面半径相等，都是2厘米，长和圆柱的高相等；已知表面积增加了24平方厘米，就可求出高是多少厘米，进而再求出圆柱的体积． 解答：解：24÷2÷2=6（厘米） ； 3.14×22×6， =3.14×4×6， =3.14×24， =75.36（立方厘米）； 答：圆柱体的体积是75.36立方厘米． 故答案为：75.36． 点评：此题是求圆柱的体积，必须先知道底面半径和高，才可利用“V=Sh”来解答． 12．（2011•靖江市）把一根长80厘米的圆柱体木料横截成两段，成为两个圆柱体，表面积增加了42平方厘米，原来这个圆柱体的体积是 1680 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：我们由“把一根长80厘米的圆柱体木料横截成两段，成为两个圆柱体，表面积增加了 42平方厘米”可知，增加的面积是2个圆面的面积，用42÷2=21（平方厘米）就是一个圆面的面积，即底面积，用底面积乘以圆柱的长就是圆柱体的体积． 解答：解：42÷2×80， =21×80， =1680（立方厘米）； 答：这个圆柱体的体积是1680立方厘米． 点评：本题考查了圆柱体积公式的掌握与运用情况，即运用“底面积×高=体积”进行解答． 13．（2011•慈溪市）一个棱长为5的正方体是由125个木制的棱长是1的小正方体堆叠而成的．那么，你从一个角度最多能看到棱长是1的小正方体 61 个． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；再根据在一点观察 一个正方体最多能看到它的3个面，9条棱；棱长为5的正方体每个面是由（5×5）个小正方体拼成的，由于最多看到的3个面（正面、侧面、上面）中有3条棱长是重复计算了，由此计算出3个面上小正方体的个数减去3条棱上的个数；由此列式解答． 解答：解：从正面看到的是：5×5=25（个） ； 从侧面看到的是：（5﹣1）×5=20（个）； 从上面看到的是：（5﹣1）×（5﹣1）=4×4=16（个）； 一共是：25+20+16=61（个）； 答：从一点最多能看到棱长是1的小正方体是61个． 故答案为：61． 点评：考查了组合图形的计数和从不同方向观察物体和几何体， 此题解答的关键是理解从一 耐心 细心 责任心 3 2 点最多能看到一个正方体的3个面，9条棱，根据正方体的特征每个面都是面积相等的正方形，所有的棱的长度都相等，据此解答． 14．（2011•盐亭县）用1cm3的小正方体木块，堆成一个1m3的大正方体，需要 1000000 个小正方体木块，如果把这些小正方体密铺成一排，长 10 千米． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：用大正方体的体积除以小正方体的体就可以求出块数，不过要注意单位的换算，由小 正体的体积求出小正方体的边长，然后根据求出来的块数乘以边长就即可，也要注意单位的换算． 解答： ：1m3=1000000cm3， 解1000000÷1=1000000（个）； 由1cm3正方体是单位体积的正方体，所以1cm3小正方体的边长是1cm， 1000000个小正方体排成一行的可得： 1000000×1=1000000（cm）， 1000000cm=10km； 故答案为：1000000，10． 点评：此题考查了正方体的组合，以及单位体积的正方体的边长和学生的空间想象能力． 15．（2012•桃源县）用4个棱长为1厘米的小正方体拼一个长方体，长方体体积是 4cm3 ，表面积是 18cm2或16cm2 ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：（1） 运用正方体的体积公式先求出一个小正方体的体积再乘以4，就是拼成的一个长方体的体积． （2）有2种排列情况借助画图进行解决，都可以运用底面周长乘以高计算侧面积，再加上上下底的面积，就是这个长方体的表面积．即表面积=侧面积+上下底的面积． 解答：解： （1）1×1×1×4=4（立方厘米）； （2）拼成一个长方体的长是： 1×4=4（厘米）， 长方体的表面积是： （4+1）×2×1+4×1×2， =10+8， =18（平方厘米）； （3）拼成的长方体如下： （1×2+1×2）×2×1+（1×2）×（1×2）×2， =8+8， =16（平方厘米）； 耐心 细心 责任心 3 3 故答案为：4cm3，18cm2或16cm2． 点评：本题运用正方体的体积公式及长方体的表面积公式进行计算即可． 16．（2012•瑞安市）一根长3米的圆柱形木料，横着截掉2分米，剩下的圆柱形木料的表面积减少12.56平方分米，原来这根圆柱体木料的底面周长是 6.28 分米，体积是 0.0942 立方米． 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：（1）我们运用减少的表面积除以2就是原来这根圆柱体木料的底面周长． （2）我们运用底面积乘以圆柱形木料的长度就是圆柱形木料体积． 解答：解： （1）12.56÷2=6.28（分米）； （2）3.14×（6.28÷3.14÷2）2×（3×10）， =3.14×30， =94.2（立方分米）， =0.0942（立方米）； 故答案为：6.28，0.0942． 点评：本题运用圆柱的表面积公式及圆柱的体积公式进行计算即可． 17．（2014•顺德区模拟）把4个棱长为2分米的正方体拼成长方体，拼成的长方体的表面积可能是 72 平方分米，也可能是 64 平方分米． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：由4个棱长2分米的小正方体拼成的长方体，可以有两种拼法，可以拼成长、宽、高 分别是8分米、2分米、2分米的长方体，也可以拼成长、宽、高分别是4分米、2分米、4分米的长方体，根据长、宽、高求出表面积即可． 解答：解：8×2×4+2×2×2， =64+8， =72（平方分米）， 4×2×4+4×4×2， =32+32， =64（平方分米）； 答：拼成的长方体的表面积可能是72平方分米，也可能是64平方分米． 故答案为：72，64． 点评：此题主要考查简单的立方体切拼问题以及长方体表面积的求法． 18．（2012•遂昌县）把一个棱长是1分米的正方体木块锯成8个同样大的正方体小木块后，表面积增加了一倍． 正确 ． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：观察图形可知，沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，需要切割3次，每切割1 次，就增加2个大正方体的面，所以一共增加了6个大正方体的面，即增加的表面积 耐心 细心 责任心 3 4 正好等于这个大正方体的表面积，由此即可解答． 解答：解：沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，需要切割3次，每切割1次，就增加 2个大正方体的面， 所以一共增加了3×2=6个面，即增加的表面积正好等于这个大正方体的表面积，所以表面积增加了一倍； 故答案为：正确． 点评：抓住切割特点，得出每切割一次增加两个大正方体的面，切割3次正好增加了6个面 是解题的关键． 19．（2012•遂昌县）一个长方体木块，从上部截去高5厘米的长方体，剩下的部分是正方体，表面积减少了120平方厘米．那么，原来长方体的体积是 396 立方厘米． 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：根据题意，高截去5厘米，表面积就减少了120平方厘米，表面积减少的只是4个侧 面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（5厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积公式解答． 解答：解：原来长方体的长和宽是： 120÷4÷5， =30÷5， =6（厘米）； 原来长方体的高是： 6+5=11（厘米）； 原来长方体的体积是： 6×6×11=396（立方厘米）； 答：原来长方体的体积是396立方厘米． 故答案为：396． 点评：此题解答关键是理解高截去5厘米，表面积就减少了120平方厘米，表面积减少的只 是4个侧面的面积，底面积不变，进而求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式解答即可． 三．解答题（共5小题） 20．如图，把一个高为12厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．表面积比原来增加48平方厘米，那么圆柱体积是多少立方厘米？ 耐心 细心 责任心 3 5 考点：简单的立方体切拼问题；圆柱的侧面积、表面积和体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，但拼成的长方体表面积比圆柱多 了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，都是12厘米，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了48平方厘米，就可求出底面半径是多少厘米，进而再求出圆柱的体积即可． 解答：解：底面半径：48÷2÷12=2（厘米） ； 圆柱体积：3.14×22×12=150.72（立方厘米）； 答：圆柱的体积是150.72立方厘米． 点评：此题是求圆柱的体积，必须先知道底面半径和高，才可利用“V=Sh”来解答． 21．一个长方形的木块，高12厘米，长和宽都是10厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 考点：简单的立方体切拼问题；圆锥的体积． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：根据长方体内最大的圆锥的特点，这个长方体内最大的圆锥的底面直径是10厘米， 高是12厘米；由此利用圆锥的体积公式即可解答． 解答： 解：×3.14×（10÷2）2×12， =×3.14×25×12， =314（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是314立方厘米． 点评：此题考查了圆锥的体积公式的计算应用， 关键是抓住长方体内最大的圆锥的特点进行解答． 22．（2006•江阴市）旺仔牛奶公司要设计一种正好能装6罐牛奶的长方体小包装盒．牛奶罐为圆柱形（如图），底面直径6厘米，高10厘米．一共有 5 种不同的包装方案． 当包装盒的长是 18 厘米、宽是 12 厘米、高是 10 厘米时，最节省包装纸．至少需要包装纸 1032 平方厘米．（接头处忽略不计） 耐心 细心 责任心 3 6 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：一共有5种不同的包装方法： （1）1×6排列：长为6×6=36厘米，宽为6厘米，高为10厘米；或者长为6厘米，宽为6厘米，高为10×6=60厘米； （2）2×3排列：长为6×3=18厘米，6×2=12厘米，高为10厘米；或者长为3×6=18厘米，宽为6厘米，高为10×2=20厘米；或者长为2×6=12厘米，宽为6厘米，高为3×10=30厘米 解答：解： （1）1×6排列：长为6×6=36厘米，宽为6厘米，高为10厘米时： （36×6+36×10+6×10）×2， =（216+360+60）×2， =636×2， =1272（平方厘米）； 或者长为6厘米，宽为6厘米，高为10×6=60厘米时： （6×6+6×60+6×60）×2， =（36+360+360）×2， =756×2， =1512（平方厘米）； （2）2×3排列：长为6×3=18厘米，6×2=12厘米，高为10厘米时： （18×12+18×10+12×10）×2， =（216+180+120）×2， =516×2， =1032（平方厘米）； 或者长为3×6=18厘米，宽为6厘米，高为10×2=20厘米时： （18×6+18×20+6×20）×2， =（108+360+120）×2， =588×2， =1176（平方厘米）； 或者长为2×6=12厘米，宽为6厘米，高为3×10=30厘米时： （12×6+12×30+6×30）×2， =（72+360+180）×2， =612×2， =1224（平方厘米）； 答：底面直径6厘米，高10厘米．一共有5种不同的包装方案；当包装盒的长是18 耐心 细心 责任心 3 7 厘米、宽是 12厘米、高是10厘米时，最节省包装纸．至少需要包装纸1032平方厘米． 故答案为：5；18；12；10；1032． 点评：根据题干找出各种排列方法， 并利用长方体的表面积公式分别计算得出它们的表面积即可解答问题． 23．（2007•南长区）一个立体图形是由10个小正方体拼搭成的．至少还需要17个同样大小的小正方体，才能拼搭成一个大正方体 正确 ． 考点：简单的立方体切拼问题． 专题：压轴题；立体图形的认识与计算． 分析：因为2×2×2=8（个） ，3×3×3=27（个），现在有10个，如果搭成一个大正方体，至少搭长3个，宽3个，高3个的小正方体，共需要27个小正方体，因为现在有10个，则至少还需要：27﹣10=17个；据此判断即可． 解答：解：因为2×2×2=8（个） ，10＞8个，所以至少还需： 3×3×3﹣10， =27﹣10， =17（个）； 故答案为：正确． 点评：解答此题的关键是：看要拼搭成的大正方体棱长是由几个小正方体棱长组成，进而根 据正方体的体积计算公式求出所需个数． 24．（2009•南安市）列式解答： 如图是一盒巧克力，如果将这样的三盒巧克力包装成一个礼包，怎样包装才能最节省包装纸？（重叠处不计）（图：一个长20厘米、宽15厘米、高6厘米的长方体） ①用这种包装方法包装成的礼包长 20 厘米、宽 15 厘米、高 18 厘米． ②用这种包装方法包装成的礼包至少要用多少包装纸？ 考点：简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积． 专题：压轴题． 分析：根据3个小长方体拼组大长方体的方法可得， 将20×15的面相连接，组成一个长为20厘米，宽15厘米，高为6×3=18厘米的长方体表面积最小，所以这样包装才能最省包装纸． 解答：解： （1）将20×15的面相连接，组成一个长为20厘米，宽15厘米，高为6×3=18厘米的长方体表面积最小，所以这样包装才能最省包装纸． （2）（20×15+20×18+15×18）×2， =（300+360+270）×2， =930×2， =1860（平方厘米）， 答：将20×15的面相连接，组成一个长为20厘米，宽15厘米，高18厘米的长方体 耐心 细心 责任心 3 8 表面积最小，所以这样包装才能最省包装纸，至少需要包装纸1860平方厘米． 故答案为：20；15；18． 点评：三个小长方体拼组大长方体时，要使表面积最小，只要把它们的最大面相连接即可． 成长足迹 课后检测 学习（课程）顾问签字： 负责人签字： 教学主管签字： 主管签字时间： 耐心 细心 责任心 3 9 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