20.2.1矩形的判定 教案 教学目标：探索并掌握矩形的判定方法，并能综合运用。 教学重点：矩形的判定方法。 教学难点：培养数学说理能力。 教学过程： 一、回顾 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形的性质：（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形； （2）两条对角线相等且互相平分； （3）四个内角都是直角。 二、新课学习 思考：除了矩形的定义，根据矩形特有的性质，类比研究平行四边形的性质和判定，你能找到判定一个四边形是矩形的方法吗？ 猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。 已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 DA ∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等） ∴∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补） 在△ABC与△DCB中， BC ∵ AB=DC AC=DB BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SSS） ∴∠ABC=∠DCB=90° ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。 练习：判断“对角线相等的四边形是矩形”是否正确？若不正确，应如何改正？ 分析：此命题与判定定理1差别在于题设少了平行四边形的条件，所以是不正确的。但由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可知，只需在题设里加上“对角线互相平分”的条件就能使命题成立。 推论 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 例1：如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。 DA求证：四边形EFGH是矩形。 HE证明：∵四边形ABCD是矩形 j ∴AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且互相平分） OFG ∵AE=BF=CG=DH BC ∴OE=OF=OG=OH，即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形） 思考：对于一个一般的四边形，如果不利用对角线的性质，你还能找到判定它是矩形的的方法吗？ 猜想2：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是一个矩形。 已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° DA ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形） ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边B形是矩形） C 因为四边形内角和为360°，所以只要一个四边形有三个内角是直角，即可得到第四个角也为直角。所以我们得到 判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。 例2：已知ABCD中，∠BAD与∠BCD互补。求证：（1）（2）AO=BO=DO。 ABCD是矩形；证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠BAD＝∠BCD ,∠ABC＝∠ADC（平行四边形对AD角相等） ∵ ∠BAD+∠BCD= 180° O∴ ∠BAD＝∠BCD= 90° CB∵ ∠BAD+∠BCD+ ∠ABC+∠ADC = 360° ∴ ∠BAD＝∠ABC=∠BCD= 90° ∴四边形ABCD为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） （2）∵四边形ABCD为矩形 ∴AO=BO=DO（矩形对角线相等且互相平分） （这里再次强调“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。） 三、随堂练习 判断题 （1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ ） （3）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形。 （ ） （4）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。 （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形的矩形。 （ ） （6）两对角线互相垂直平分的四边形是矩形。 （ ） 四、小结 判定矩形的几种方法： 五、课后作业 课本p110 习题20.2 第1题，第2题（做作业本上） 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/801c433e4731b90d6c85ec3a87c24028915f8567.html