立体几何 不等式 圆锥曲线
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1、立体几何 1. 点、线、面的集合表示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点A在直线a上 点A不在直线a上 Aa Aa AA点A在平面内 A 点A不在平面内 直线a、b交于A点 直线a在平面内 直线a与平面无公共点 直线a与平面交于点A 平面、相交于直线l ba aa aA 二、知识网络： 空间向量的加减空间向量及其运算 空间向量的数乘共线向量定共面向量定空间向量与立体几何 空间向量的数量积空间向量基本平行与垂直的空间向量的坐标立向量夹角与直线的方向向量与平面的法体几何中的向量方法 用空间向量证平行与垂直求空求空间 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 符号语言： 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 符号语言： 注意符号语言的应用，很多学生开始学习的时候会犯错误。 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 【推理模式】A,B,C不共线A,B,C,确定平面ABC. 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 【推理模式】Al存在唯一的平面，使得A，l. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 【推理模式】abP存在唯一的平面，使得a，b. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 【推理模式】a//b存在唯一的平面，使得a，b. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 2. 空间的两条直线有哪些位置关系？ 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 3、空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使pxaybzc. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OPxOAyOBzOC. 题型1：空间向量的概念及性质 例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）。 (A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③ 解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算 例2、如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，D1A1DABMB1CC1M为A1C1与B1D1的交点。若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是（） 11111111abcabcabcabc(A)2(B)2(C)2(D)22222 111BMBB1B1M(ADAB)AA1abc222解析：显然；答案为A。 点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。 小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝abab． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，|CDn|C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|n|.5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d|PoPn|＝|n|. 222|a|aaaaaa(a,a,a)123123，则1、模长公式：若． a1b1a2b2a3b3abcosab222222|a||b|a1a2a3b1b2b32、夹角公式：3、两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则． 2|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 例1、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果. 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）. ab(1)cos=|a||b|=100101025－10，∴a和b的夹角为－10。 (2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b）， ∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 5则k=－2或k=2。 例2. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱A1B1的中点，画出点P，B，C1所确定的平面与长方体表面的交线. 解题思路：根据两点确定一条直线与公理一 D1A1PDABB1C1C试一试：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A,C,P三点所确定的平面与长方体表面的交线 D1 A1 D A例3. 已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面. 证明思路：分两种情况讨论，一种是两两相交交点不同，一种是有三个交点重合，再根据公理三的推论. C1B1PBC 试一试：已知直线a，b，c两两相交且不共面.求证：a，b，c相交于一点. 证明思路：反证法. 例4. 已知：a//b//c，alA，blB，clC． 求证：a，b，c共面． 【分析】根据推论3，推论2，以及点，线，面的关系， 先由两条直线确定一个平面， 再证出另外的两条也在这个平面上. 【点评】证明线线共面要用到公理3的几个推论. 试一试：证明：两直线a，b平行，直线c与a，b相交，则：直线a，b，c三线共面（要求写处已知、求证、证明） 分析：这种题目首先要根据所给的图形写出符合条件的已知，求证，再根据条件进行证明，首先两条平行线确定一个平面，再说明两个交点在平面上，根据一条直线有两个点在平面上知道直线在平面上，得到三线在同一个平面上． 例5. 已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面． 例6. 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上． 分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点． 已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求证：B、D、P三点共线． 证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）． ∵A∈AB，D∈BD， ∵E∈AB，F∈AD，同理，P∈平面BCD． ∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD． ∴平面ABD∩平面BCD＝BD． ∴P∈BD即B、D、P三点共线． 例7. 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（） A．arccosD1A1EDBC1B1G15 510 5B． 4 2C C．arccosD．AF解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 B1G2GF2B1F2(2)2(3)2(5)2cosB1GF＝＝0， 2B1GGF223故∠B1G F＝90°，应选(D)． 试一试：如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体，AD1A160，oAD14，点P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成的角（结果用反三角函数表示）． A B P C D . ABCD 解：过点P作PEA1D1，垂足为E，连结B1E（如图），则PE∥AA1B1PE，是异面直线AA1与B1P所成的角． 在Rt△AA1A160∴A1AD130 1D1中∵AD A1B1A1D111AD12,A1EA1D11， 221AA13． 2B1EB1A12A1E25．又PE∴在Rt△B1PE中，tanB1PEB1E515 PE3315． 3∴异面直线AA1与B1P所成的角为arctan 例8：如图，平面PAC平面ABC，ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA， PB，AC的中点，AC16，PAPC10． （I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE； （II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离． 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则O0,0,0,A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F4,0,3，由题意得，因此平面BOE的法向量为n(0,3,4)，G0,4,0,因OB(8,0,0),OE(0,4,3)，FG(4,4,3得nFG0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG//平面BOE (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． 2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面→，CD→〉． 角的大小θ＝〈AB 例1、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB； （Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小. 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 设ABa,PDh,则Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h， （Ⅰ）∵ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0， ∴ACDP0,ACDB0， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC平面PDB. 112（Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，P0,0,2a,E2a,2a,2a， 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， 1122∵EA2a,2a,2a,EO0,0,2a， EAEO2∴cosAEO， 2EAEO∴AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45. 例2、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2,PA6 （1）求证：PAB1D1； （2）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角的余弦值； （3）求B1到平面PAD的距离以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系 （1）证明设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴PEABCD P又AB2,PA6，∴PE2∴P(1,1,4)∴B1D1(2,2,0),AP(1,1,2) ∴B1D1AP0，即PAB1D1。 （2）解设平面PAD的法向量是m(x,y,z)， AD(0,2,0),AP(1,1,2) ∴y0,x2z0取z1得m(2,0,1)，又平面BDD1B1的法向量是A DBM10mn10n(1,1,0)∴cosm,n，∴cos。 55mnB1Am65。 （3）解B1A(2,0,2)∴B1到平面PAD的距离d5m 练一练： 1. 以下四个命题中，正确命题的个数是 ① 不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 【分析】对于①，利用反证法说明，对于②，考虑若A、B、C共线的情形；对于③，根据共面不具有传递性进行判断；对于④，依据四边形四条边可以不在一个平面上进行判断． 【解析】 ①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面； ②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确； ③不正确，共面不具有传递性； ④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上． 故答案为：1． AD∥BC，，CD．2. 已知平面、且l，梯形ABCD中，且AB， 求证：AB，CD，l共点（相交于一点）． 【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证． 【点评】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． （1）证明三线共点的依据是公理3． （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理． 3. 如图，已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD 的点，且CFCG2．求证：三条直线EF,GH,AC交于一点． CBCD3【分析】根据比例式可以得出平行，则可知EHDF为梯形， 根据推论可确定一个平面，只要用公理二即可证明． 【点评】公理二提供了证明直线共点的问题，只要找出两个平面相交，而某个点同时在两个平面内，则肯定在交线上． 4. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角° SECFAB 解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠EDF为异面直线EF与SA所成的角 设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED⊥DF，∴∠EDF=45°， 5. 在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。3，求3FG＝EG＝16. 如图，PA平面ABC，ACB90且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值。 PABC 解：将此多面体补成正方体DBCAD'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即tanDBAPD2． DBPD1AC1B1CDB 7. 给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M,M,l,则Ml； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为 ． 【分析】根据平面的基本性质，结合一些特殊情形，如：两个平面有三个共线公共点，那么这两个平面不一定重合，对于两条异面直线不在同一个平面内，借助于在正方体中，从一个顶点出发的三条线不共面等等即可判断． 【答案】1． 课后作业：1.有4个命题： ①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb； ③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ B ）。A.1 B.2 2.下列命题中是真命题的是( D )。 C.3 D.4 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则 （ C ）。 A.x=1,y=1 16 B.x=，y=- D.x=-，y=3 21212 C.x=，y=-3 2164.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA²QB448取最小值时，点Q的坐标是.答案,, 333OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，5.在四面体O-ABC中，则OE=(用a,b,c表示).答案 a+b+c 6．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系． 121414 设AB＝BC＝AA1＝2， 则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1) →→则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)， →→∴EF²BC1＝2， →→∴cos〈EF，BC1〉＝1＝， 2³2222∴EF和BC1所成角为60°. 答案 60° 2、不等式 a＋b1．基本不等式ab≤2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4.(简记：和定积最大) 1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． [试一试] a＋b1．“a>0且b>0”是“≥ab”成立的________条件． 22．(2014·扬州期末)已知x，y∈R，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________． 1．活用几个重要的不等式 baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)． aba＋b2(a，b∈R)；a＋b2≤a＋b(a，b∈R)． ab≤2222．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． [练一练] 4若x>1，则x＋的最小值为________． x－1[典例] 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 2211求证：1＋a1＋b≥9. [类题通法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． [针对训练] 11设a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥22. 考点二 利用基本不等式求最值 11[典例] (1)(2013·徐州、宿迁三检)若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的2a＋bb＋1最小值为________． 21(2)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________． z(3)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则xy的最小值为________． z在(3)的条件中，当取最小值时，求x＋2y－z的最xy 大值. [类题通法] 两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． a注意：形如y＝x＋x(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． [针对训练] (1)当x＞0时，则f(x)＝2x的最大值为________． x2＋1(2)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考点三 基本不等式的实际应用 [典例] 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该k厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促m＋1销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [类题通法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． [针对训练] (2014·苏中三市、宿迁调研(一))为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元． 购地费用＋所有建筑费用注：每平方米平均综合费用＝. 所有建筑面积(1)求k的值； (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？ [课堂练通考点] 1．(2013·南京三模)若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________． a2b12．常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，x＋y＝2.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________. 3．(2013·苏北四市二模)已知函数f(x)＝x＋p(p为常数且p＞0)，若f(x)在区间(1，x－1＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________． 4.创新题已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为________． 115．若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． mn 第Ⅱ组：重点选做题 1．(2014·镇江质检)已知a，b∈R，且a2＋ab＋b2＝3，设a2－ab＋b2的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝________. 2.解关于x的不等式：ax﹣（a+1）x+1＜0（a＞0） 2 3.（2015•张家港市校级模拟）已知集合A=，分别根据下列条件，求实数a的取值范围（1）A∩B=A；（2）A∩B≠∅ 4.（2015秋•连云港期末）若方程7x﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围为 ． 2 25.（2015春•宿州期末）设f（x）=2x+bx+c，已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5） （1）求f（x）的解析式； （2）若对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）﹣tx≤﹣8有解，求实数t的取值范围． 6.2014秋•泰兴市校级期末）已知函数f（x）=x﹣（2a+1）x+a+a＞0的解集． （Ⅰ）求A，B； （Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围． 22的定义域为A，集合B是不等式 3、圆锥曲线 1椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 PF1F2注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）.则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）PPPF1PF22a y又PF1(xc)2y2， (xc)2y2(xc)2y22a， F1OF2Px化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)， 22222由定义2a2c,ac0令acb代入，得 b2x2a2y2a2b2， x2y2两边同除ab得 221，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点ab22222在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中acb 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点PyF2OF1则变成F1(0,c),F2(0,c),只要将方程xy1中的x,y调换，22ab22xy2x2即可得221，也是椭圆的标准方程 ab理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原x2y2y2x2点；在221与221这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程ababx2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方mnxyx2y2程，可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，所以在x轴上的abab“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小) 例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（35,） 22x2y2解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0) ab2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21 所以所求椭圆标准方程为259y2x2因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为221(ab0) ab由椭圆的定义知，2a()2(2)2＋()2(2)23252325231101022210 y2x21a10 又c2bac1046所以所求标准方程为106222 35y2x21，另法：∵baca4∴可设所求方程22后将点（,）22aa42222的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程 例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： x2y221(ab0) 2ab∵2a(53)20(53)2010，2c=6. ∴a5,c3 22222∴bac5316 x2y21. ∴所求椭圆的方程为：2516(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 y2x221(ab0). 2ab222∴bac144. y2x21 ∴所求椭圆方程为：169144例3、 已知椭圆经过两点（35,)与(3,5)，求椭圆的标准方程 22x2y21(m0,n0,mn) 解：设椭圆的标准方程mn5232()()221则有 m，解得 m6,n10 n(3)2(5)21nmx2y21 所以，所求椭圆的标准方程为610例4、已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A(x,y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得a5,c3,b4 x2y21 （y≠0）（特别强调检验） 所以顶点A的轨迹方程为2516y2x2椭圆的简单几何性质：①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步ba得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ec叫做椭圆的离心率（0e1），a当e1时，ca，，b0当e0时，c0，ba； ． 椭圆图形越扁椭圆越接近于圆 例4、已知椭圆mx25y25mm0的离心率为e10，求m的值． 5解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x轴上，即0m5时，有a5,bm,c5m，∴5m525，得m3；②当焦点在y轴上，即m5时，有am,b5,cm5，∴m5m 1025m． 53x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点练一练：1 椭圆259的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 x2y21的焦点坐标是（ ） 2.椭圆25169A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) x2y21，焦点在x轴上，则其焦距为（ ） 3.已知椭圆的方程为8m2A.28m2 B.222m C.2m28 D.2m22 4.a6,c1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 x25.方程3y2sin(241表示椭圆，则的取值范围是（ ） )Ａ.833(k∈Ｚ） Ｂ.kk888 Ｃ.833(k∈Ｚ） Ｄ.2k2k888y2x215. Ｂ 参考答案：1.A2.C3.A4.36351．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率 2．椭圆的准线方程 x2y2a2对于221，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x；相对于右焦caba2a2a2c2b2c点F2(c,0)对应着右准线l2:x焦点到准线的距离p（焦cccc参数） 注：（1）椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 （2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （１）经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）；（２）长轴的长等于２０，离心率等于． 解：（１）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点Ｐ、Ｑ分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2. 35x2y21． 又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为94（２）由已知，2a=20,ec3, a5a10,c6.b21026264. 由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为 x2y2y2x21或1． 10064100641. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 2．推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p（p>0）,那点F的坐标为(DyMKO(1)Fx么焦pp,0)，准线l的方程为x， 22设抛物线上的点M（x,y），则有(x化简方程得 y22pxp2p)y2|x| 22p0方程y22pxp0叫做抛物线的标准方程 （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（p,0），它的准线2方程是xp 2（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22px，x22py，x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程如下： DyMyyMKO(1)FxMxDDOyKOxFOF(3)KxM(4)DF(2)KD (1)y22px(p0), 焦点:(pp,0)，准线l：x 22(2)x22py(p0), 焦点:(0,pp)，准线l：y 22(3)y22px(p0), 焦点:(pp,0)，准线l：x 22(4)x22py(p0), 焦点:(0,pp)，准线l：y 22相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的1，4即2pp 42不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y2；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，2方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果 ，进一步明确抛物线上的点的几何意义 （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好 例1、（1）已知抛物线标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 解析：（1）p＝3，焦点坐标是（33，0）准线方程是x＝－．（2）焦点在y轴负22半轴上，p＝2， 2所以所求抛物线的标准议程是x28y． 例2、 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3． 2（2）先化为标准方程x111y，p，焦点坐标是（0，），准线方程是y22448＝－1. 48例3、 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3） 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）. 解：（1）焦点在x轴负半轴上，p＝5，所以所求抛物线的标准议程是y220x． 2（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝9 2点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝4∴所求抛物线的标准方程3是y2＝94x或x2＝－y 23练一练：1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4）y12x 62．根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是F（－2，0） （2）准线方程是y1 3（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上（4）经过点A（6，－2） 3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标 课堂练习答案：1．（1）F（2，0），x＝－2 （ （2）（0，1），y＝－1（3）（2）x2＝－3333，0），x＝（4）（0，），y＝2．（1）y2＝－8x 8822（3）x2＝8y或x2＝－8y 4y 32（4）y2x 或 x218y 33．（±6，9） 例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3） 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：（1）焦点在x轴负半轴上，p＝5， 2所以所求抛物线的标准议程是y220x． （2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝9 24 3点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝∴所求抛物线的标准方程是y294x或x2＝－y 2322例5、已知抛物线的标准方程是（1）y12x，（2）y12x，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p6，焦点坐标是（3，0）准线方程x3 2（2）先化为标准方程x111y，p，焦点坐标是（0，）， 22448准线方程是y1. 481．抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做yyylyOF图形 lxOFxFOFxOlx 方程 焦点 准线 l y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p(,0) 2xp 2(p,0) 2p 2p(0,) 2yp 2p(0,) 2yp 2x抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的1，4即2pp 42不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y2；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，2方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 抛物线的几何性质 1．范围：因为p＞0，由方程y22pxp0可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性：以－y代y，方程y22pxp0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y22pxp0中，当y=0时，x=0，因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点． 例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p． 解：由题意，可设抛物线方程为y22px，因为它过点M(2,22)， 所以 (22)22p2，即 p2。因此，所求的抛物线方程为y24x． 将已知方程变形为y2x，根据y2x计算抛物线在x0的范围内几个点的坐标，得 x y 0 0 1 2 2 2.8 3 3.5 4 4 „ „ 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分 点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线． 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点yC位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出BOEFAHDxp值． 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y22px (p＞0)． 由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得3022p40，即 p45。42所求的抛物线标准方程为y45x． 2 例3 过抛物线y22px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜ 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切． 例4、 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值． 解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方 因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得p=4． 因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)． 例5、过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)． 证明： (1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为： 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2． 或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 综合上述有y1y2=-p2 又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点， 例6.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上,求这个正三角形的边长. 分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长. 解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则: 222y2. y122px1,y22px2,又OAOB,所以x12y12x22222即x1x22px12px20,(x1x2)2p(x1x2)0(x1x2)(x1x22p)0x10,x20,2p0,x1x2 由此可得,y1y2,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且∠Aox=30°,所以y13. tan30x13y12x1,y123p,AB2y143p. 2p 课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值 x2y2x2y2x2y21；②1；③1；④4y29x236 ①224242答案：①表示园；②是椭圆a2,b2,c2；③不是椭圆（是双曲线）；④x2y24y9x36可以表示为221 ，是椭圆，a3,b2,c5 2322x2y21的焦距是，焦点坐标为；若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的2椭圆169周长为答案：2c27;F1(7,0),F2(7,0);4a16 3． 方程4x2ky21的曲线是焦点在y上的椭圆，求k的取值范围答案：0k4 x2y21 4化简方程：x(y3)x(y3)10答案：16252222x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距5椭圆10036离是答案：4 6动点P到两定点F1 (-4,0)，F2 (4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为_______ 答案：是线段F1F2，即y0(4x4) 1．过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，如果2x1x26，那么|AB|=（ B ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2．已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP||MF|的最小值为（ B ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线yax2a0的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别是p、q，则1411=（ C ）（A）2a（B）（C）4a（D） 2aapq4．过抛物线y24x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 ______ (答案：y22x1 ) 5.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标（答案：M54,2 , M到y轴距2离的最小值为5） 4 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/81dd797c3f1ec5da50e2524de518964bce84d250.html