抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速翻开思路。 结论一：假设AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦〔过焦点的弦〕， p2且A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么：x1x2，y1y2p2。 4例：直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F， 求证：11AFBF为定值。 结论二：〔1〕假设AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，那么AB2Psin2〔α≠0〕。〔2〕焦点弦中通径〔过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦〕最短。 例：过抛物线y29x的焦点的弦AB长为12，那么直线AB 倾斜角为 。AB倾斜角为或32。 3结论三：两个相切：〔1〕以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 〔2〕过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：〔1〕以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A、B做准线的垂线， 垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆 与直线AB相切。 y M P O N B A Q F x 结论四：假设抛物线方程为y22px(p0)，过〔2p，0〕的直线与之交于A、B两点，那么OA⊥OB。反之也成立。 结论五：对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为2pt)，O为抛物线的顶点，显然kOP点P坐标为(2pt，2x2pt，2y2pt，设抛物线x22py上动2pt2t，即t的几何意义为过2pt抛物线顶点O的动弦OP的斜率． 例 直线y2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为513，求P的值． 2ptA)，(2ptB2，2ptB)， 解析：设点A，B分别为(2ptA2，那么tA11kOA2，tB1kOA2． kOBA，B的坐标分别为 p5p．，p，(8p，4p)∴AB8p(p4p)213p513．∴p2． 2222练习： 1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点， 假设线段PF与FQ的长分别是p，q，那么11= 故114a】 pqpq2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线 于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O． pp【证明：抛物线焦点为F0．设直线AB的方程为xmy， ，22代入抛物线方程，得y22pmyp20．假设设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么y1y2p2． ∵BC∥x轴，且点C在准线kCO2p； y1 又由y122px1，得kAOy12p， 故kCOkAO，即直线AC经过原点O．】 x1y1 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8379e1e407a1b0717fd5360cba1aa81144318fe1.html