第2课时 正弦定理（2） 【学习导航】 知识网络 正弦定理→测量问题中的应用 学习要求 1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2．学会用计算器，计算三角形中数据。 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：在△ABC中，asinAbsinBcsinC2R, 变形：（1）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC （2）sinAab2R，sinB2R，sinCc2R 2．三角形的面积公式： （1）s1112absinC=2bcsinA=2casinB （2）s=2R2sinAsinBsinC （3）sabc4R 【精典范例】 【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】 让学生学会学习 过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 听课随笔 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得ABADsinADBsinABD10002（ｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ． 【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=500，∠B=550，AB=120m，如何求得它的高？ （sin5000.766,sin5500.819） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C； （2）求三角形的高。 【解】 （1）先分别沿A、B延长断边，确定交点C，∠C=1800-∠A-∠B，用正弦定理算出AC或BC；ACABsinCsinB 120sin750sin550101.8 （2）设高为h，则 hACsinA101.8sin50078 【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到0.1） 【解】 连接BD，设∠BDC=，则由正弦定理知 BCsinBDCDCsinDBC，即 70sin50sin(600) tan731735.50，从而有 BDA105035.5069.50， BDBCsin1200sin35.50BD104.4，由 于ABBDsinBDAsinBAD，即 ABsin69.50104.4sin750AB101.2， 而梯形的高 hBCsinABC70sin600353 所以有SABCD12(CDAB)h 12(50101.2)3534583.0 注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F即可。 【例4】已知a、b、c是△ABC中∠A、 ∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=53，求c的长度。 【解】 由三角形的面积公式得：S112absinC245sinC 53sinC32 cosC12ca2b22abcosC 162524512， c21或61 让学生学会学习 追踪训练一 听课随笔 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( D ) A.103海里 B.1063海里 C. 52海里 D.56海里 2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度 【解】在△ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30 由正弦定理：100BCsin30sin15 ∴BC = 200sin15 在△DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + 由正弦定理：50200sin15sin45sin(90)cos =31, ∴ = 4294 【选修延伸】 【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/88926b35f8d6195f312b3169a45177232f60e4dc.html