第一余弦定理(任意三角形 射影定理) 直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的 高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ ABC中,/ BAC=90 ,AD是斜边BC上的高,则 有射影定理如下：(1)(ADF2;=BD • DC,⑵(ABF2;=BD • BC , ⑶(ACF2;=CD • BC。 等积式(4)ABXAC=BCXAD可用面积来证明) 简介 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理 (又叫欧几里德(Euclid) 定理)：直角三角形 中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式：如图，Rt△ ABC中，/ ABC=90 , BD是斜边 AC上的高，则有射 影定理如下： (1) (BD)A2=AD- DC (2) (AB)A2=AD - AC， (3) (BC)A2=CD- CA。 等积式 (4) ABX BC=A$ BD(可用“面积法”来证明) 直角三角形射影定理的证明 比例中项 Z J I 1 射影定理简图(几何画板) > :(主要是从三角形的相似比推算来的) C, 又 v/ BDA/ BDC=90 •••△ BASA CBD ••• AD/BD=BD/CD 即BDA2=AD- DC其余同理可得可证 一、 在厶BAD与^BCD 中，I / BDAM BDC=90，且/ DBC# C=90， •••/ ABD/ 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 有射影定理如下： ABA2=AD AC，BCA2=CD CA 两式相加得： ABA2+BCA2=AD・ AC+CD AC = (AD+CD) AC=ACA2 . 即ABA2+BCA2=ACA2 (勾股定理结论)。 已知：三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股证射影 ••• ADA2=ABA2-BDA2=ACA2-CDA2, ••• 2AD=AB+ACBD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)〈BD+CD)=2B区 CD. 故 AD=BK CD. 运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BGCD=BID (BD+CD) =BD BC, AC=CDAD=CD+BDCD=CD(BD+CD)=CCB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： △ ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是 A、B、C,则有 a=b • cosC+c • cosB, b=c • cosA+a • cosC, c=a • cosB+b • cosA。 注：以“ a=b • cosC+c • cosB”为例，b、c在a上的射影分别为 b • cosC、 c • cosB，故名射影定理。 证明1:设点A在直线BC上的射影为点 D,则AB AC在直线BC上的 射影分别为BD CD,且 BD=c- cosB, CD=b- cosC,： a=BD+CD=b- cosC+c • cosB.同理可证其 余。 证明2 :由正弦定理，可得： b=asinB/sinA , c=as in C/si nA=as in( A+B)/si nA=a(si nAcosB+cosAsi nB)/si nA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a • cosB+b • cosA.同理可证其它的。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/89e2774b081c59eef8c75fbfc77da26925c596a9.html