全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合A{1,2,3,…99}，B{2x|xA},C{x|2xA}，则B则这样的点Q所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是偶数的概率为______. C的元素个数为______. 2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60，x2y24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，椭圆C的弦STab与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P。已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则PF1F2的面积为______. 5.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足f()1,f(2)2，则不等式组1x2的解集为______. 1f(x)226.设复数z满足|z|1，使得关于x的方程zx2zx20有实根，则这样的复数z的和为______. 7.设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为______. 8.设整数数列a1,a2,…,a10满足a103a1,a2a82a5，且 ai1{1ai,2ai},i1,2,…,9， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R上的函数f(x)为 |log3x1|,0x9,f(x) x94x,设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列a1,a2,a3,…满足：对任意正整数n，有an(2Snan)1，其中Sn表示数列的前n项和。证明： 1）对任意正整数n，有an2n； 2）对任意正整数n，有anan11。 11.在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y4x的过点F(1,0)的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O,A,B）。若PF平分APB，求|PF|的所有可能值。 2加试（A卷） 一、（本题满分40分）设n是正整数，a1,a2,,an,b1,b2,…,bn，A,B均为正实数，满足b1b2…bnB。 a1a2…anA二、（本题满分40分）如图，ABC为锐角三角形，ABAC，M为BC边的中点，点D和E分别为ABC的外接圆BAC和BC的中点，F为ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB。 证明：若BNEM，则DFFG。（答题时请将图画在答卷纸上） aibi,aiA,i1,2,…,n，且第 1 页 共 2 页 三、（本题满分50分）设n,k,m是正整数，满足k2，且nm子集。证明：区间(0,2k1n。设A是{1,2,…,m}的n元kn)中的每个整数均可表示为aa，其中a,aA。 k1四、（本题满分50分）数列{an}定义如下：a1是任意正整数，对整数n1，an1是与等于a1,…an的最小正整数。证明：每个正整数均在数列{an}中出现。 五、 a互素，且不ii1n第 2 页 共 2 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8f31e37205a1b0717fd5360cba1aa81145318f3b.html