2020年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。 1．在等比数列{an}中，a913，a131，则loga113的值为________． 2．在椭圆Γ中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点．若|AB|AF1AF2BF1BF20，则的值为________． |F1F2|1003．设a0，函数f(x)x在区间(0,a]上的最小值为m1，在区间[a,)上的最小x值为m2．若m1m22020，则a的值为________． z24．设z为复数，若为实数（i为虚数单位），则|z3|的最小值为________． ziAA5．在△ABC中，AB6，BC4，边AC上的中线长为10，则sin6cos6的值为22________． 6．正三棱锥PABC的所有棱长均为1，L,M,N分别为棱PA,PB,PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为________． 7．设a,b0，满足：关于x的方程|x||xa|b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3，且x1x2x3b，则ab的值为________． 8．现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中，规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有________种． 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9．（本题满分16分） 在△ABC中，sinA2．求cosB2cosC的取值范围． 2 10．（本题满分20分） 对正整数n及实数x(0≤xn)，定义 其中[x]表示不超过实数x的最大整数，{x}x[x]．若整数m,n≥2满足 12mn1 f(m,)f(m,)f(m,)123， nnn12mn1求f(n,)f(n,)f(n,)的值． mmm 11．（本题满分20分） 在平面直角坐标系中，点A,B,C在双曲线xy1上，满足△ABC为等腰直角三角形．求△ABC面积的最小值． f(n,x)(1{x}C[nx]{x}C[nx]1， 2020年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷） 一、（本题满分40分） 如图，在等腰△ABC中，ABBC，I为内心，M为BI的中点，P为边AC上一点，满足AP3PC，PI延长线上一点H满足MHPH，Q为△ABC的外接圆上劣弧AB的中点．证明：BHQH．（答题时请将图画在答卷纸上） AQHMIPCB 二、（本题满分40分） 给定正数n≥3，设a1,a2,,a2n，b1,b2,,b2n是4n个非负实数，满足 b2n0， a1a2a2nb1b2且对任意i1,2, 求a1a2． ,2n，有aiai2≥bibi1（这里a2n1a1，a2n2a2，b2n1b1）a2n的最小值． 三、（本题满分50分） 四、（本题满分50分） 给定凸20边形P．用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形，所得图形称为P的一个三角剖分图．对P的任意一个三角剖分图T，P的20条边以及添加的17条对角线均成为T的边．T的任意10条两两无公共端点的边的集合成为T的一个完美匹配．当T取遍P的所有三角剖分图时，求T的完美匹配个数的最大值． 设a11，a22，an2an1an2，n3,4,．证明：对整数n≥5，an必有一个模4余1的素因子． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/d414aa73f505cc1755270722192e453611665b00.html