高中数学极限问题
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第九讲 极限与探索性问题 【考点透视】 1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念． 3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项. 2.几个常用的极限：①limC=C（C为常数）;②lim1=0;③limqn=0（|q|nnnn＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当liman=a, nnlimbn=b时，lim （an±bn）=a±b; n例1.数列{an}满足:a11,且对于任意的正整数m,n都有amnaman,则3lim(a1a2nan) ( ) 2A.1 B.2 C.3 D.2 23 [考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn0(q1) n的应用. [解答过程]由a11111和aaa得a2,a3,ann. mnmn9273311(1n)31.lim(a1a2an)lim3xx12 13故选A. 例2．设常数a0，21axx4展开式中x3的系数为32，则lim(aa2an)_____. n[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程] Tr1Car44rx82rx1r2，由x1. 82rx1r231r4rx3,得r2,由C4a=知a=22，所以1lim(aa2an)21，所以为n112例3.把1(1x)(1x)n→2其各项系数和为(1x)n展开成关于x的多项式， an，则lim2an1等于( ) an1 （ ） A．1 4B．1 2C．1 D．2 n[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn0(q1) 的应用. [解答过程] 当x1时,an1(1x)(1x)2(1x)122n212n22n1, 12n2an12(2n1)12n111∴limlimnlimlim(2)2. nnn→a1n→(21)1n→n→22n故选D 例4.设等差数列an的公差d是2，前n项的和为 Sn，则 2ann2 limnSn ． n思路启迪：由等差数列an的公差d是2，先求出前n项的和为S和通项an． [解答过程] 2n2ana(n1)22n2a,Snna2n(n1)2n(a1)n, 22a(2)212an(2n2a)nnn∴limlimlim3. 2nnna1Snn(a1)n1n22故填3 小结: 1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在； （2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） （2） （3） （4） nlimlimlimlimC=C（C为常数）; （1）p=0（p＞0）; nnankbncnkdn=a（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）; cqn=0（|q|＜1）. 2x2例5.设正数a, b满足lim(x 解aabxan12bnn1n1aaxb)4则limnabn1（ an12bnn1 ） （A）0 （B）1 4（C）1 2（D）1 :a1∵lim(x2axb)4,∴42ab4,∴.x2b2则lima1a[()n11]a[()n11]a1 b2limlim.xxan11n12b4()2b()2bb2 故选B 小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念： （1）如果xlimf（x）=a且xlimf（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大x时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a. （2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→xx0a. （3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作xx0limf （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作2.极限的四则运算法则： 如果limf （x）=a, xx0xx0xx0xx0limf（x）=a. limg（x）=b,那么 xx0lim[f（x）±g（x）]=a±b; lim[f（x）·g（x）]=a·b; xx0limf(x)=a（bg(x)b≠0）. 例6． x3x2limx1x1=( ) B．等于l A．等于0 C．等 于3 D．不存在 [考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 例7． x3x2x2(x1)limlimlimx21.故选x1x1x1x1x1B x21lim2( n12xx1 ) （C）1 2（A）0 （B）1 （D）2 3[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 故选D 例8.若f （x）=3x21(x1)(x1)x12 lim2limlim.n12xx1n1(2x1)(x1)n12x13x11x11在点x=0处连续，则f （0）=__________________. 思路启迪：利用逆向思维球解. 解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=limf （x）, x0limf （x）= limx0x113x0 = lim3(x1)23x11x11x11x0=3. 2答案: 3 2例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且limf （x）=0,limf （x）x1x2=－3,求这一函数最大值.. 思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值. 解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c. ∴b=0.∴f （x）=ax2+c. 又limf （x）= x1limaxx12+c=a+c=0, x2limf（x）=limax2+c=4a+c=－3, x2 ∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1. ∴f （x）的最大值为1. 例10.设f（x）是x的三次多项式，已知lim=x2af(x)x2a=limx4af(x)x4a=1. 求limx3af(x)的值（ax3a为非零常数）. x2a解答过程：由于① 同② 理flimf(x)x2a=1,可知f（2a）=0. （4a）=0. 由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）. 这里A、C均为待定的常数. 由limx2ax2af(x)x2a=1,即 limA(x2a)(x4a)(xC)=limA（x－4a）（x－C）=1, x2ax2a得A（2a－4a）（2a－C）=1, 即③ 同理，由于limx4a4a2A－2aCA=－1. f(x)x4a=1, 得A（4a－2a）（4a－C）=1, 即④ 由③④得C=3a,A=12a28a2A－2aCA=1. , 因而f（x）=∴lim=12a2x3a12a2（x－2a）（x－4a）（x－3a）. （x－2a）（x－4a） 2f(x)=lim1x3ax3a2a2·a·（－a）=－1. x例11 a为常数，若lim（x21－ax）=0,则a的值是____________.. 思路启迪：先对括号内的的式子变形. 解答过程：∵xlim（x21－ax）= xlimx21a2x2x21ax=xlim(1a2)x21=0, x21ax∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1时，分母→0, ∴a=1. 考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性. 一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件： （1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）limf（x）存在；（3）limfxx0xx0（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且limf（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续. xx02.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值. 3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,f(x)g(x)（g（x）≠0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续. 例12.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可. 解答过程：f（x）在x=x0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f（x）=πxπcosxcos的不连续点为( ) 2（k=0,±1,±2k1A.x=0 B.x=2,…） C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） D.x=0和x=±1,±2,…） 思路启迪：由条件出发列方程解之. 解答过程：由cosπ=0,得π=kπ+π（k∈Z）,∴x=xx22（k=0,2k12(kZ). 2k1又x=0也不是连续点,故选D 答案：D e例14. 设f（x）=xax(x0),当(x0),a为________时,函数f（x）是连续的. 解答过程：limf（x）= x0x0lim（a+x）=a, limf（x）=limex0x0x=1,而f（0）=a,故当a=1时, x0limf（x）=f（0）, 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的. 小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性. x例15.已知函数f（x）=x为有理数,x为无理数,函数f（x）在哪点连续( ) 21xA.处处连续 B.x=1 C.x=0 D.x=1 思路启迪：考虑结果的启发性. 解答过程：答案：D 例16.抛物线y=b（x）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴alimf（x）= limx12x12f（x）=f（1）. 2影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以a为底的内n接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S的值. yByOAxOAx(1)(2) 思路启迪：先列出式子. 解答过程：S=lim［b·（1）2+b·（2）2+b·（3）2+…+b·（n1）2］nnnnn2·a n1222(n1)2n3n=lim=lim·ab n(n1)n(2n1)·ab=1ab. 36n3例17.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）. （1）证明{an}是等比数列； （2）求lim（a1+a2+…+an）的值. n 解答过程：（1）证明:记rn为圆On的半径， 则r1=ltan30°=2rn1rnrn1rn36l. 3=sin30°=1,∴rn=1rn－1（n≥2）. 22于是a1=πr12=πl12anan1,anan1=（rnrn1）2=1, 9∴{an}成等比数列. （2）解：因为an=（1）n－1·a1（n∈N*）, 9所以lim（a1+a2+…+an）=na1119=3πl. 232例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的7,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到9停止运动所经过的路程和时间分别是多少? 解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=2gh0=10（m/s）,9那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v1=7v0,v2=（7）92v0,…,vn=（7）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为9h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×v122g=10×（7)2. 9小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2, 则L2=2×v=10×（7）4. 222g9由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为 Ln=10×（7）2n. 9故从第一次到第n+1次所经过的路程为 Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,则整个过程总路程为 77()2[1()2n]99721()9S=limSn+1=5+lim10×nn=5+107()2971()29=20.3（m）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0=2h0g0=1（s）. 1小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×v=2×g7,同理可得 9tn=2×（7）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,则9（s）. 考点4.新考题 例19．（本小题满分12分） t=limtn+1=1+lim2×nn77()[1()n]9971()9=8已知数列{an}、{bn}与函数f(x)、g(x)，xR满足条件： b1b,anf(bn)g(bn1)(nN*)． （I）若f(x)tx1(t0,t2),g(x)2x,f(b)g(b)，且nliman存在，求t的取值范围，并求nlim． an（用t表示）（II）若函数yf(x)在R上是增函数，g(x)任意的nN*，an1an． [考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. a [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知tbn11,1得an1an1.又已知t2，2an2bn1,n1f1(x),b1,f(1)1，证明对可得 an1212 (an).t22t21 由f(b)g(b),t2,t0,可知a其首项为tb2tt2是等比数列，tb0,0,所以ant2t22t2tt,公比为，于是 t22 an2tttt2 (tb)()n1,即an(tb)()n1.t2t22t22t2n 又lima存在,可得0|t|1,所以2t2且t0. 2 limann2 .2tn 12bn1,且t2，可得 解法二：由题设知tb bn1111 (bn).t22t2 1t110,0,所以bn是首项为bt22t2t2 由f(b)g(b),t2,t0,可知b等比数列. bn，公比为t的211t1t1 (b)()n1,即bn(b)()n1.t2t22t22t2n 由a2bn1可知,若liman存在,则limbn存在,于是可得0|nnt|1, 2 所以2t2且t0. liman2limbnnn2 .2t 解法三：由题设知tbn12bn1，即 bn1t1bn， 22① 于是有 bn2t1bn1, 22n2② ②－①得bbn1t(bn1bn),令cnbn1bn，得 2 cn1cn. 由f(b)g(b),t2,t0可知c 所以{c}是首项为bn2t2 1b2b1(t2)b1t0,0, 22b,公比为t的等比数列，于是 2 t1()n2(bb)b,bn1(c1c2cn)b121t 12t4[1()n]2(bb)2b.an2bn1212t 又lima存在,可得0|t|1,所以2t2且t0. nn2 limann42 (b2b1)2b.2t2t 说明：数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准. （Ⅱ）证明：因为g(x)f(x),所以ang(bn1)fan(nN*). 1(bn1),即bn1f(an). 下面用数学归纳法证明an1 （1）当n1时,由f(x)为增函数,且f(1)1，得 a1f(b1)f(1)1,b2f(a1)f(1)1,a2f(b2)f(1)a1, 即a2a1，结论成立. （2）假设n = k时结论成立，即ak1ak.由f(x)为增函数，得 f(ak1)f(ak),即bk2bk1， 进而得 f(bk2)f(bk1),即ak2ak1. 这就是说当n = k +1时，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对任意的nN*,an1an. 例20已知公比为q(0q1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a2n}各项的和为81. 5(Ⅰ)求数列{an}的首项a1和公比q； (Ⅱ)对给定的k(k1,2,3,,n),设T(k)是首项为ak，公差为2ak1的等差数列.求数列T(k)的前10项之和； (Ⅲ)设bi为数列T(i)的第i项，求Sn，并求正整数m(m1)，Snb1b2bn，使得limSnnm存在且不等于零. (注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前n项和的极限) [考查目的]本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项. a19a13,[解答过程] (Ⅰ)依题意可知, 1q22a181q3.251q(2)2(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an3,所以数列T的的首项为t1a22,公差n13d2a213,S10102(2)11093155,即数列T的前2i110项之和为155. 2(Ⅲ) bi=aii12ai1=2i1ai1=32i1i3i1，2nn1，limSnSn4518n27nnm23n=limn4518n272nnn1 .mmnmn32nnm当m=2时，limS=－1，当m>2时，limS=0，所以m=2. nnnm2nn 【专题训练】 一.选择题 1.下列极限正确的个数是 ①lim1nn=0（α＞0）;②limqn=0;③limn2n3n23nnn=－1 ; ④limC=C（C为n常数） A.2 B.3会 C.4 D.都不正确 2.下列四个命题中正确的是 A.若liman2＝A2，则liman＝A B.若an＞0，liman＝A，则A＞0 nnnC.若liman＝A，则liman2＝A2 D.若lim（an－b）＝0，则limannnnn＝limbn n 3.xx0limf（x）=xx0limf（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2x4.f（x）=0x1,下列结论正确的是( x1, ) x1A.limx1f(x)=x1limf（x） B.limx1f(x)=2，limf(x)不存在 x1C.limf （x）=0, x1limf(x)不存在 D.limf （x）≠limf （x） x1x15.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( ) yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x③④ A.① B.②③ C.①④ D.③④ 6.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上( ) A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确 7.已知Limannbnc15,Lim2ncna3bnc2cn，如果bc≠0，那么Limann22bnccnanb=( ) A、 15 B、1 C、3 D、5 15538.若r为实常数，则集合{x|xLimn|r|n1|r|n,rR} A、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素 9. 若limx1f(x1)x11,则limx1f(22x)x1（C） A．－1 B．1 C．－1 D．1 222x3,10. 已知fxx1，下面结论正确的是（ ） x12,x1x1A.fx在x1处连续 B.fx5 C.limfx2 D.limfx5 二.填空题 11.四个函数:①f（x）=1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）x=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题: ①f（x）=1在［0,1］上连续; x②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值; ③limπx22sin2x=4; cosxxx1(x0),(x0).④若f（x）=则limf（x）=0. x0其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______. 14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f’(x)>0，f(0)>0，则Limn2[f(3)]n3[f()]n4[f(3)]5[f()]nn=_________. =__________. 15. 16. n2n12nlimlimn22n=____________. n2n23三.解答题 17.求下列函数极限: 4①limx1x1 ;x1②limx81x3 ;3x2 ③limxaxaxax2a2(a0). 18. .数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当lim（b1+b2+…+bn）≤3,求cn的取值范围. 【参考答案】 一. B 1.提示:①③④正确. 2. C 提示:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝1，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D． n3. C 4. D 5. A 6. C 提示：有定义不一定连续. 7. D 8. C 9.C 提示：10.D 提示: 故选D. 二. 11.②③④; 12.③; 13. a=215. 提示：原式=limn2n(n1)2limx1x111 lim.f(22x)x12limf(x1)2x1x1x1limfxf(1)2135. 2b=4 ; 14. 3 5122nn1n22; n=limn=0. 16. 提示：:原式=limn2n322n1=. 12三.17. 解:①limx14411 x1x1lim.lim44x14x1x12(x1)(x1)x1 ②lim ③ x81x3(1x3)(1x3)(3x223x4) lim3x8x2(3x2)(3x223x4)(1x3)232(x8)3(x32x 4)x23x4limlimx8x8(x8)(1x3)1x32. xalimxaxaxa22 xa1(xa)(xa)xalimlimxaxaxaxa(xa)xaxaxaxalim(xaxa22xa22) lim2a xa1.2axa(xa)a2 (3)当x时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当a00,b00,m和n为非负整数时,有 a0xma1xm1xbxnbxn101a0b,0am0,bn,nm,nm, nm.lim18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立. ∴aan2anan1n1=a=c=c.又a1·a2=a2=c. n1n2ancn∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴b=an2bnan3anan1n2=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列, ∴lim （b1+b2+b3+…+bn）= nnlim（b1+b3+b5+…）+ nlim（b2+b4+…） =1c+1c2c≤3. 1c 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a28313455bfafab069dc5022aaea998fcc224099.html