高中数学例题:圆系问题

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高中数学例题:圆系问题

7.求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:1)过原点;2)有最小面积. 【思路点拨】设出圆系方程,然后再根据题目条件确定圆的方程。

3171364

【答案】1x2y2xy0 2 xy 24555

2

2

【解析】 设所求圆的方程为x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+)x+(4)y+(1+4)=0

1)因为所求的圆过原点,所以1+4=0 故所求圆的方程为x2y2x

3

2

17

y0 4

14

2)当半径最小时,圆面积也最小.把方程①化为标准形式,

4584

[x(1)]2y 2455

258584

r所以当时,r2取得最小值,即,故满min55455

2

2

2

足条件(2)的圆的方程为

6413

xy 555

2

2

【点评 本题的一般解题思路是先求出直线与圆的交点的坐标Ax1y1Bx2y2,所求圆过两个点,再利用第三个独立条件和圆的一般方程即可求解.本题用了一个典型解法:设直线lAx+By+C=0Cx2+y2+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ex+F+(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆的交点的圆系方程. 举一反三:



1 2


【变式1】求过两圆x2+y2+6x4=0x2+y2+6y28=0的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.

【答案】x2+y2x+7y32=0 【解析】设所求的圆的方程为 x2+y2+6x4+(x2+y2+6y28)=0 x2y2

66428xy0 111

∵圆心为

33

,,且在直线xy4=0上, 11

33

407 11

故所求的圆的方程为x2+y2x+7y32=0

2 2


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/93c94b115b0216fc700abb68a98271fe910eaf25.html