高中数学公式总结大全(最全面、最易懂)
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高中数学公式总结大全（最全面、最易懂） 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式： sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式： sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角公式： sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8) 十倍角公式： sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 公式分类 公式表达式 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 图形周长 面积 体积公式 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积 已知三角形底a，高h，则S＝ah/2 已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2） 和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2 设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶） | a b 1 | S△=1/2 * | c d 1 | | e f 1 | 【| a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】 秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2?sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线l和⊙o相交 d＜r ②直线l和⊙o相切 d=r ③直线l和⊙o相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r＜d＜r+r(r＞r) ④两圆内切 d=r-r(r＞r) ⑤两圆内含d＜r-r(r＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：l=nπr／180 145扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2 146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 147等腰三角形的两个底脚相等 148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 150三条边都相等的三角形叫做等边三角形 另一部分: 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线l和⊙o相交 d＜r ②直线l和⊙o相切 d=r ③直线l和⊙o相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r＜d＜r+r(r＞r) ④两圆内切 d=r-r(r＞r) ⑤两圆内含d＜r-r(r＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：l=nπr／180 145扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2 146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 147等腰三角形的两个底脚相等 148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 150三条边都相等的三角形叫做等边三角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 1. 元素与集合的关系 xAxCUA,xCUAxA. 2.德摩根公式 CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB. 3.包含关系 ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR 4.容斥原理 card(AB)cardAcardBcard(AB) card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB) card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC). nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式 22nNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0 f(x)NMNMN0 |Mf(x)2211. f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后2者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在kk2b(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1,或f(k2)0且12a2k1k2bk2. 22a|f(x)9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若xbb则f(x)minf( p,q，),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2ab(2)当a<0时，若xp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若2abxp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2ax10.一元二次方程的实根分布 依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)x2pxq，则 p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p； m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或； af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p . m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL). (2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL). a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2. c0b4ac012.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 不成立 存在某x， 成立 p且q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 p且q p或q 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若pq，则p是q充分条件. （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件. （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设x1x2a,b,x1x2那么 f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数； x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)0，则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa). 20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x对称. 22a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数. nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数yf(x)的图象的对称性 (1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax) f(2ax)f(x). ab(2)函数yf(x)的图象关于直线x对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx). 24.两个函数图象的对称性 (1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 f(a)bf1(b)a. 27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数. k28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c. (2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0. (3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1). (4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1). 'x(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)， f(0)1,limx0g(x)1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0， 1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0), f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a； (5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a) f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a. 或f(xa)30.分数指数幂 (1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）. （a0,m,nN，且n1）. a31．根式的性质 n（1）(na)a. （2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，an|a|32．有理指数幂的运算性质 (1) aaarsrrsrrrsrsna,a0. a,a0(a0,r,sQ). (2) (a)a(a0,r,sQ). (3)(ab)ab(a0,b0,rQ). 注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 logaNbabN(a0,a1,N0). 34.对数的换底公式 logaNlogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0). logma推论 logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0). m35．对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN; MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR). (2) loga2236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1,则函数ylogax(bx) a11 (1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数. aa11， (2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数. aa 若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 （1）logmp(np)logmn. （2）logamloganloga2mn. 238. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 n1s1,an( 数列{an}的前n项的和为sna1a2ss,n2nn140.等差数列的通项公式 an). ana1(n1)ddna1d(nN*)； 其前n项和公式为 n(a1an)n(n1)na1d 22d1n2(a1d)n. 22sn41.等比数列的通项公式 ana1qn1a1nq(nN*)； q其前n项的和公式为 a1(1qn),q1sn1q na,q11a1anq,q1或sn1q. na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为 b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d； ,q1q1其前n项和公式为 nbn(n1)d,(q1)sn. d1qnd(b1q)q11qn,(q1)43.分期付款(按揭贷款) ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). (1b)n144．常见三角不等式 （1）若x(0,(2) 若x(0,2)，则sinxxtanx. )，则1sinxcosx2. 2(3) |sinx||cosx|1. 45.同角三角函数的基本关系式 sin2cos21，tan=46.正弦、余弦的诱导公式 sin，tancot1. cos(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos, nn(1)2cos, cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan(). 1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2. asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决b定,tan ). a48.二倍角公式 sin2sincos. cos2cos2sin22cos2112sin2. 2tan. tan221tan49. 三倍角公式 sin33sin4sin34sinsin()sin(). 33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan(). 13tan233.50.三角函数的周期公式 函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T51.正弦定理 . abc2R. sinAsinBsinC52.余弦定理 a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC. 53.面积定理 111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB. 2221(3)SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2. 2（1）S54.三角形内角和定理 在△ABC中，有ABCC(AB) CAB2C22(AB). 222k55. 简单的三角方程的通解 sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1). cosxax2karccosa(kZ,|a|1). tanxaxkarctana(kZ,aR). 特别地,有 sinsink(1)k(kZ). coscos2k(kZ). tantank(kZ). 56.最简单的三角不等式及其解集 sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ. sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ. tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ. tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ. 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1). (4)设a=(x,y),R，则a=(x,y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2). 63.两向量的夹角公式 cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 64.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB (x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)). 65.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 66.线段的定比分公式 设P1P2的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1PP2，则 x1x2OPOP21 OP1y1y2111（）. t(1t)OPOPtOP121xy67.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 3368.点的平移公式 ''xxhxxh''OPOPPP . ''yykyyk注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k). 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk). (2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k. (4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为'''''''''''f(xh,yk)0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为ABC的外心OAOBOC. （2）O为ABC的重心OAOBOC0. （3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. （4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 71.常用不等式： （1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 22222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）abc3abc(a0,b0,c0). （2）a,bR（4）柯西不等式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR. （5）ababab. 72.极值定理 已知x,y都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广 已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy （1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大； 当|xy|最小时,|xy|最小. （2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时, |xy|最小； 当|xy|最小时, |xy|最大. 73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与2212s. 422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2). 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 xax2aaxa. 2xax2a2xa或xa. 75.无理不等式 （1）（2）（3）f(x)0 . f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0. f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0. f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式 (1)当a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x); f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)(2)当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x); f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0 f(x)g(x)77.斜率公式 ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）. x2x178.直线的五种方程 （1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距). yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)). y2y1x2x1xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0) ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0). （3）两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 ①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21. (2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零, A1B1C1； A2B2C2②l1l2A1A2B1B20； ①l1||l280.夹角公式 k2k1|. 1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21) ABA2B1|. (2)tan|12A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). (1)tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式 . 2k2k1. 1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21) ABA2B1(2)tan12. A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). (1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是82．四种常用直线系方程 . 2 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量． 83.点到直线的距离 AB84. AxByC0或0所表示的平面区域 设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是： 若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域 设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则 (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是： (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分； (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 (xa)(yb)r. 22（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0). 22222d|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0). xarcos. ybrsin（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). （3）圆的参数方程 87. 圆系方程 (1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数． 22(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程是xyDxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数． 2222(3) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交222222点的圆系方程是xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种 若d(ax0)(by0)，则 22222dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种: 222dr相离0; dr相切0; dr相交0. 其中dAaBbCAB22. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线; r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线. 91.圆的切线方程 (1)已知圆xyDxEyF0． ①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 22D(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时, x0xy0yF0表示过两个切点22 x0xy0y的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． ③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线． (2)已知圆xyr． 2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr; 222②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2. xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是. abybsinx2y293.椭圆221(ab0)焦半径公式 aba2a2PF1e(x)，PF2e(x). cc94．椭圆的的内外部 22x0y0x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221. abab22x0y0x2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部221. abab95. 椭圆的切线方程 x2y2xxyy(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021. ababx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是abA2a2B2b2c2. x2y296.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式 aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|. cc97.双曲线的内外部 x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 22x0y021. 2ab22x0y01. a2b2x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx. ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22. ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在xabab轴上，0，焦点在y轴上）. 99. 双曲线的切线方程 x2y2xxyy (1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021. ababx2y2 （2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是abA2a2B2b2c2. 2100. 抛物线y2px的焦半径公式 p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0. 2ppx2x1x2p. 222y2101.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中 2py22px. 过焦点弦长CDx1b24acb2)102.二次函数yaxbxca(x（1）顶(a0)的图象是抛物线：2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；点坐标为(（2）焦点的坐标为(（3）准线方程是2a4a2a4a4acb21y. 4a2103.抛物线的内外部 2(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 2点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). 22(2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). 104. 抛物线的切线方程 2(1)抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0). 2 （2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0). 222222222222 （3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是 22f1(x,y)f2(x,y)0(为参数). x2y221,其中kmax{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2akbkkmin{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或 AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2 消去y得到axbxc0，0,为直线F(x,y)0AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0. （2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是 F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0. A2B2A2B2108.“四线”一方程 2对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，222用x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点222弦，弦中点方程均是此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb． P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB. AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线. 118.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby． 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB， 或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB. 119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面． A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC. 121.射影公式 已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B'点在l上的射影B，则 'A'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (3)λa＝(a1,a2,a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1a2b2a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1). 124．空间的线线平行或垂直 设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则 x1x2abab(b0)y1y2； zz21abab0x1x2y1y2z1z20. 125.夹角公式 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223. 2222222推论 (a1b1a2b2a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则 |(AB2CD2)(BC2DA2)|cos. 2ACBD127．异面直线所成角 cos|cosa,b| =|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222 （其中（090）为异面直线a, b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）128.直线AB与平面所成角 ABm(m为平面的法向量). |AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则 arcsinsin21sin22(sin2Asin2B)sin2. 特别地,当ACB90时,有 sin21sin22sin2. 130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则 ''tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2. 特别地,当AOB90时,有 sin21sin22sin2. 131.二面角l的平面角 arccosmnmn或arccos（m，n为平面，的法向量）. |m||n||m||n|132.三余弦定理 设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2. 133. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面2222角的棱所成的角是θ，则有sinsinsin1sin22sin1sin2cos ; |12|180(12)(当且仅当90时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2. 135.点Q到直线l距离 1h(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量|a| dA,B=|AB|b=PQ). 136.异面直线间的距离 d|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|l1,l2间的距离). 137.点B到平面的距离 d|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. |n|138.异面直线上两点距离公式 dh2m2n22mncos. dh2m2n22mncosEA',AF. dh2m2n22mncos（EAA'F）. (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，AEm,AFn,EFd). 139.三个向量和的平方公式 (abc)2abc2ab2bc2ca 222222'abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a 140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有 l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 S'S. cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则 ①S斜棱柱侧c1l. ②V斜棱柱S1l. 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). （1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E'1nF； 21mV. 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E146.球的半径是R，则 其体积V43R, 3其表面积S4R． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积 266a,外接球的半径为a. 1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 3149.分类计数原理（加法原理） Nm1m2mn. 150.分步计数原理（乘法原理） Nm1m2mn. 151.排列数公式 Anm=n(n1)(nm1)=注:规定0!1. 152.排列恒等式 mm1(1）An(nm1)An; n！*.(n，m∈N，且mn)． (nm)！nmAn1; nmmm1（3）AnnAn1; （2）Anmnn1n（4）nAnAn1An; mmm1（5）An1AnmAn. (6) 1!22!33!153.组合数公式 mnnn!(n1)!1. n！Anmn(n1)(nm1)*C=m==(n∈N，mN，且mn). m！(nm)！12mAm154.组合数的两个性质 (1)Cn=Cnmmnm ; =Cn1. m(2) Cn+Cnm10注:规定Cn1. 155.组合恒等式 nm1m1Cn; mnmmCn（2）Cn1; nm（1）Cnm（3）Cn （4）mnm1Cn1; mrnCr0rrn=2n; rrrr1（5）CCr1Cr2CnCn1. 012rnn(6)CnCnCnCnCn2. 135024n1(7)CnCnCnCnCnCn2. 123nn1 (8)Cn2Cn3CnnCnn2. r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn. 021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n. 156.排列数与组合数的关系 mmAnm！Cn . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” mm1m1①某（特）元必在某位有An1种；②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）1m1m1m1An1An1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种. ②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种. （3）两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ nAmn1当nm1时，无解；当nm1时，有nCm1种排法. Anhkkmknk1k（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn. 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnnn(mn)!. m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnN. m!m!(n!)m（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则nmn1n2其分配方法数共有NCpCpn1...Cnmm!p!m!. n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nmn1n2CpCpn1...Cnmm!+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Na!b!c!...（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+p!m!. n1!n2!...nm!(a!b!c!...)+nm)个物体分为任意的n1， n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数p!有N. n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，p!则其分配方法数有N. n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 nmn1n2NCpCpn1...Cnmp!. n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为 1111(1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!ppm(1)C(nm)!pCm(1)pAnpmmm 1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnmCm(1)m]. Anm160．不定方程x1+x2+(1)方程x1+x2+(2) 方程x1+x2+(3) 方程x1+x2+n1+xnm的解的个数 n1+xnm（n,mN）的正整数解有Cm个. 11+xnm（n,mN）的非负整数解有 Cnn个. m1+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)1n12n12n1(1)n2CnnCm1(n2)k个. 2的非负整数解有Cm1(n2)(k1)个. (4) 方程x1+x2+n1的正整数解有Cnm1Cn2Cmnk2Cn2Cmn2k3161.二项式定理 0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ; 二项展开式的通项公式 rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n). 162.等可能性事件的概率 P(A)m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 kkPn(k)CnP(1P)nk. 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 ); （1）Pi0(i1,2,（2）P1P2169.数学期望 1. xnPn Ex1P1x2P2170.数学期望的性质 （1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp. (3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)q171.方差 k1p，则E21. pDx1Ep1x2Ep2172.标准差 22xnEpn =D. 173.方差的性质 (1)DabaD； 2(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p). (3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则Dq. 2p174.方差与期望的关系 DE2E. 175.正态分布密度函数 2fx1e262x262,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 x1fxe2,x,. 262177.对于N(,)，取值小于x的概率 2xFx. Px1x0x2Pxx2Pxx1 Fx2Fx1 xx12. 178.回归直线方程 nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2yabx，其中22. xxxnxiii1i1aybx179.相关系数 rxxyyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn 2xxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 0n（1）limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1. 0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt). nbntbnt1b0tt1bk不存在 (kt)（3）Slimna11qn1qxx0a1n1（S无穷等比数列a1q (|q|1)的和）. 1q181. 函数的极限定理 xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a. xx0182.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)f(x)h(x); （2）limg(x)a,limh(x)a（常数）, xx0xx0则limf(x)a. xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1）lim10，liman0（|a|1）； nnn（2）limxx0，limxx011. xx0xx0184.两个重要的极限 （1）limsinx1； x0xx1（2）lim1e(e=2.718281845…). xx185.函数极限的四则运算法则 若limf(x)a，limg(x)b，则 xx0xx0(1)limfxgxab； xx0(2)limfxgxab; xx0(3)limxx0fxab0. gxbn186.数列极限的四则运算法则 若limana,limbnb，则 n(1)limanbnab； n(2)limanbnab； n(3)limanab0 nbbnnnn(4)limcanlimclimanca( c是常数). 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商） f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)y. limx0xx0x188.瞬时速度 s(t)limav(t)limss(tt)s(t). limt0tt0t189.瞬时加速度 vv(tt)v(t). limt0tt0t190.f(x)在(a,b)的导数 dydfyf(xx)f(x). f(x)ylimlimx0x0dxdxxx191. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0). 192.几种常见函数的导数 (1) C0（C为常数）. 'n1(2) (xn)nx(nQ). (3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)11ex；(loga)loga. xxxxxx(6) (e)e; (a)alna. （1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv. ''''''193.导数的运算法则 u'u'vuv'(v0). （3）()2vv194.复合函数的求导法则 ''设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有'''''导数yuf(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作fx'((x))f'(u)'(x). 195.常用的近似计算公式（当x充小时） 1n1x;1x1x； 2n1(2)(1x)1x(R)； 1x； 1xx(3)e1x； (4)ln(1x)x； (5)sinxx（x为弧度）； (6)tanxx（x为弧度）； (7)arctanxx（x为弧度） 196.判别f(x0)是极大（小）值的方法 (1)1x1当函数f(x)在点x0处连续时， （1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等 abicdiac,bd.（a,b,c,dR） 198.复数zabi的模（或绝对值） |z|=|abi|=a2b2. 199.复数的四则运算法则 (1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0). 222cdcd200.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3C，有 交换律:z1z2z2z1. 结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式 d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）. 202.向量的垂直 非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 OZ1OZ2z1z2的实部为零z2222为纯虚数|z1z2||z1||z2| z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程axbxc0， 2bb24ac①若b4ac0,则x1,2; 2ab2②若b4ac0,则x1x2; 2a2③若b4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭2b(b24ac)i2复数根x(b4ac0). 2a 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a465c2170a12a21614791711cc7931b765ce7b7b.html