不动点定理

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不动点定理在经济学中的应用

数本1301 王敏

摘要

不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。

关键词：不动点、博弈论、纳什均衡

一、不动点定理

定义1：设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B，使

得XAB，则称X是一个不连通空间；否则，称X是一个连通空间。[1] 引理1：设X是一个连通空间，f:XR是一个连续映射，则f(X)是R中的一个区间。[1]

引理2:（介值定理）设f：[a,b]R是闭区间[a,b]到实数空间R的一个连续映射，则对于f(a)和f(b)之间的任何一个实数r，存在z[a,b]使得f(z)z。[1] 定理：（不动点定理）设f:[0,1][0,1]是一个连续映射，则存在z[0,1]使得f（z）z。[1]

证明：如果f(0)0或者f(1)1，则定理显然成立。下设f(0)0，f(1)1。定义映射f:[0,1]R使得对于任何x[0,1]有F(x)xf(x)。容易验证f是一个连续映射，并且这时又F(0)0和F(1)0。因此根据介值定理可得存在z[0,1],使得F(z)0,即f(z)z。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数

f，存在一个点x0，使得f(x0)x0。这个定理表明：在高维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的，即

映射f:EnEn是一个连续映射，其中En是n维闭球体，则存在zEn，

使得f(z)z。

二、博弈论和纳什均衡

博弈论又被称为对策论，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。经济学家们所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。非合作博弈又分为：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应的均衡概念为：纳什均衡，子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡，精炼贝叶斯纳什均衡。

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。在经济学中这样定义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡；在数学中这样定义：在博弈

GS1,..S.n,:u1,..u.n,中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合

s

*1

*****

s，...,s,s，...,s中任一博弈方i的策略s*是对其余博弈方策略的组合,...,sni1i1i1n



******

的最佳对策，也即uis1,...,s*...,si*1,sij,si*1,...,sn)对任意sijSi都i-1,si1,...,snui(s1，*成立，则称s1,...,sn为G的一个纳什均衡。





*



三、不动点理论在经济均衡理论中的应用

下面，我们通过不动点定理来证明纳什均衡的存在性，该方法是由Myerson

在1991年给出的。[2]

定理：任何一个战略式表述的有限博弈都至少存在一个混合博弈纳什均衡。证明：令G是任—战略式表述有限博弈，即

显然，i是一个有限维向量空间的一个非空有界闭凸子集

i1n

(G是有限博弈，局中人数和每个Si中的元素个数是有限数)。任给和任一局中人i,令Ri(i)argmaxVi(i,i)

ii

即Ri(i)是局中人i在i中对其余局中人独立混合战略组合-i的最

优反应混合战略。

Ri(i)是Si上所有的概率分布i组成的集，且使得对每一个满

（0。足SiargmaxVi(si,i)的Si有isi）

siSi

Vii,iikVi(sik,i)，

k

任给iRi(i),i'Ri(i),[0,1],令 ''i(1)i'，显然''i，

''

Vi(i'',i)ikVi(Sik,i)

k

'ikVi(Sik,i)(1)ikVi(Sik,i)

k

k

Vi(i,i)(1)Vi(i,i)Vi(i,i),iRi(i)

故''Ri(i)，所以Ri(i)是凸的。

根据Vii,iikVi(sik,i)，因为Si是有限集，故存在某个k使

k

~~

~~

Vi(sik,i)max[Vi(sil,i)]

l

即argmaxVi(si,i)是非空的。令ik1,il0,lk，则 Vi(i,i)maxVi(i,i)

ii

即iRi(i)，故Ri(i)非空。

下面构造对应R，它将中的点映射于中的子集，满足：

Ri(i), R（）

i1n

由于对每一个i1,2,....,n，Ri(i)都是非空凸集，显然R（）也是非空凸集。下面我们来证明R是上半连续的。假设k

,

k1

k

k1

都是收敛序列

k,kR(k),k1,2... 且lim,limk。

k

k

_

k_

为了证明R是上半连续的，我们将需要证明R()。

kk

因为有Vi(ik,i)Vi(i,i),ii,k1,2...

__

显然期望效用函数Vi是上的连续函数，故有 Vi(i,i)Vi(i,i),ii，

因此，对于每一个i有iRi(i)，故R（）。所以R是到自身上的一个上半连续对应。

根据不动点定理，存在中的某个混合战略组合使R(),即对于

（每一个i有iR，因此就是G的一个（混合）纳什均衡。 i-i）

_

_

_

参考文献：[1]熊金城.点集拓扑讲义.北京：高等教育出版社.2011（第四版）

[2]mvmmvmmvm.纳什均衡的存在性及多重性.范文大全 :

http://wenku.baidu.com/view/12326bf69e31433239689341.html.2010-08-22

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b0f4c2ed9dc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d64d.html

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