4.完备性定理与海因定理。 limynA对任意子列ynkyn，有limynk=A， nxx0 limf（x）=A对定义域内任意xn，xnx0，xnx0，有limf（xn）=A xx0n limxn=A0，N,当m，n>N 时，xm-xnnxx0limf(x)A0,0, 使对定义域内任意异于x0的x1，x2O（x0，）， 有f（x1）（-fx2） 这些定理的作用： 1. 在不知数列或函数极限的条件下，判定极限的存在性； 2. 判定极限不存在，例如，欲证{yn}不存在，只要找两个收敛子列{ynk}，{y使limynklimykk'''nk'''nk}， ,欲证limf（x）不存在，只要x0的去心邻域内找两个收敛子列 xx0nn'xn'x0，xn''x0（n）使limf(xn)limf(x''n)； limf（xn）3. 揭示了数列极限与函数极限的关系，limf(x)A=A， f(x)单调xn 据此，求数列极限也可用罗必达法则，例如，求 limn（a-1）（a>0), 由于limx（a-1）=lim+nxy01n1xay-1y（用罗必达法则）=lim+aylna=lna，y0）=lna。 所以limn（a-1 n1n5.求极限过程中的变量代换 —复合函数极限定理与函数的变形。 若lim(t)x0((t)x),limf(x)Alimf((t))limf(x)A, tt0xx0tt1xx0x(t)特别有lim与f交换定理，若lim(t)x0，f(x)在x0连续tt0x(t)limf(x)f(x0)(f(lim(t)).同时因为limf(x)存在limf((t))tt0xtt0x与f(x0)无关，若在x0的去心邻域内f(g)g(x)，xx0，则limf(x)=limg(x)，xx0xx0利用这两点对函数变形，可使许多求极限问题化繁为简。 6. 单调有界定理和两个重要极限。若yn单调且上方有界limyn=SnPyn存n0n在；zn单减且下方有界limyn=lnfyn存在；f(x)在x0的邻域内单调nn判断yn的单调性常用三种方法，验证：yn+1yn0f(x00)与f(x00)存在，（0）或yn+1yn1(1)或0yn+1ynynyn1x0是否成立。利用两个重要极限limsinx1，x0n1xlim(11n)e，(lim(1x)e),和（4）巧妙地结合，能简捷地求许多极限。 nx （五）应用微分理论求极限 1.用导数定义求极限，若f(x)存在，则limh0'f(xh)f(x)hlimnf(x1)f(x)n1/nf'(x) '设数列n,nx(n),则当f(x)在x点连续，或nxn，或xnn，但n/(nn)有界时，lim 例5.lim(n1)anana1nf(n)f(n)nn(11)a1an1/nf'(x) x1n(a0)limn(xa)'a. 3.用台劳公式和阶的估计法求极限。 用xx0时，f（x）=o(1)----表示limf(x)0；若f（x）=o（1），g（x）=o(1)，xx0用（fx）=o(g(x))----表示lim表示limf(x)g(x)xx0f(x)g(x)用（fx）g（x）（xx0）或（fx）=g(x)+o(g(x))----0；xx01。利用无穷小量的运算性质，和根据劳台公式得出下列函数关系式2333213xSin=x-16xo(x)，Cos=2o(x)，tgx=x3xo(x)， ex1xx2o(x2).ln(1x)xx2o(x2)，(1x)a1axa(a21)x2o(x2)，以及易证的命题，“若xx0时，f(x)22g(x)，且limf(x)h(x)A，则xx0xx0。能使求函数极限的运算大大简化。特别是当函数是乘积形式时，各因limg(x)h(x)A”子可用等价无穷小量代替。 x=1 例6.1.limSin3x=lim3x 3；x0x0（x+e）+2Sinx=lim 2.limln1+2x-Cosxx0x0xarctgxln1+2x+o（x）（x）2xOox）1+x+o（x)1（ 4o(xx)x =limx02x+o（x）+2x+o（x）x+o（x)limx04x+o（x）x=o（x)lim1o(x)4 x0 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/d9f8c65232b765ce0508763231126edb6e1a7645.html