平面向量 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uuuruuurAB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuur4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； )； |AB|5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； r③平行向量无传递性！（因为有0)； uuuruuur AC共线； ④三点A、B、C共线AB、下列命题：（1）若rrrr（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ab，则ab。rrrruuuruuuruuuruuurrr则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。ABDC，rrrrrr（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如 AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，rrra任一向量可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 j为基底，则平面内的 三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如 rrrr1r3r（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______（答：ab）； 22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruur A. e1(0,0),e2(1,2) B. uruur C. e1(3,5),e2(6,10) D. uruure1(1,2),e2(5,7) uruur13e1(2,3),e2(,) 24（答：B）； rruuuruuuruuurruuurruuuraAD,BEADa,BEb（3）已知分别是ABC的边BC,AC上的中线,且,则BC可用向量,b表示为2r4r_____（答：ab）； 33 （4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD四．实数与向量的积：实数2DB，CDrABsAC，则rs的值是___ （答：0） 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：rr1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，rr当＝0时，a0，注意：a≠0。 1 五．平面向量的数量积： uuurruuurr1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB 0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝b垂直。 时，a，2rr2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的rr数量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）已知a(1,rrrurrrru1r1rr),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为，则k等于____ 224（答：1）； rrrrrr（2）已知a2,b5,agb3，则ab等于____ rrrrrr（3）已知a,b是两个非零向量，且ababrrr，则a与ab的夹角为____ （答：23）； r3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如 （答：30） o12a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：） 5r4．a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。 已知|5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： －r2rrr2rr2②当a，b同向时，a•b＝，特别地，aa•aa,aa；当a与b反向时，a•b＝rrrrrrrra•b|aab；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosrr；④•b||a||b|。如 abrrab（1）已知arrrr①aba•b0； (,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______ 41（答：或0且）； 33 六．向量的运算： 1．几何运算： ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设rruuuruuuruuurabABBCAC； uuurruuurrABa,BCb，那么向量uuurAC叫做ra与rb的和，即uuurruuurrrruuuruuuruuurABa,ACb,那么abABACCA②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____ 指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 uuuruuurr（答：①AD；②CB；③0）； uuurruuurruuurrrrr（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____ （答：2 2）； rr2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则： rr①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b5b7c719ca50ad02de80d4d8d15abe23482f033b.html