www.gaokaoq.com高考圈-让高考没有难报的志愿 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC （1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律； ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a 6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2 www.gaokaoq.com高考圈-让高考没有难报的志愿 (2) 若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1 (3) 若a=(x,y)，则a=(x, y) (4) 若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10 (5) 若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2 若ab，则x1x2y1y20 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos 叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0 2向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 |a|3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：aaa|a| 225乘法公式成立： aba2abb22ababa2b2ab； 222a2abb 226平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：abba R ③分配律成立：abcacbccab 特别注意：（1）结合律不成立：abcabc； ②对实数的结合律成立：ababab（2）消去律不成立abac不能得到bc （3）ab=0不能得到a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2 www.gaokaoq.com高考圈-让高考没有难报的志愿 8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （001800）叫做向量a与b的夹角 cos=cosa,ba•ba•b=x1x2y1y2x1y1x2y22222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b 010两个非零向量垂直的充要条件： a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8104c2bca8114431b90dd8aa.html